5. Упростить и вычислить $$\frac{\sin^2\alpha + \cos2\alpha}{0,5 сtgα}$$, если \( \alpha = 30^{\circ} \).

Решение:

1. Упростим числитель:

Воспользуемся формулой косинуса двойного угла \( \cos2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha \).

\( \sin^2\alpha + \cos2\alpha = \sin^2\alpha + (\cos^2\alpha - \sin^2\alpha) = \cos^2\alpha \).

2. Упростим знаменатель:

\( 0.5 сtgα = \frac{1}{2} \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} \).

3. Подставим упрощенные выражения в дробь:

\[ \frac{\cos^2\alpha}{\frac{1}{2} \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}} = \frac{\cos^2\alpha \cdot 2 \cdot \sin\alpha}{\cos\alpha} = 2 \sin\alpha \cos\alpha \]

Это выражение равно \( \sin2\alpha \).

4. Вычислим значение при \( \alpha = 30^{\circ} \):

\[ \sin(2 \cdot 30^{\circ}) = \sin(60^{\circ}) \]

Значение \( \sin(60^{\circ}) \) равно \( \frac{\sqrt{3}}{2} \).

Альтернативный путь решения:

1. Вычислим значения тригонометрических функций при \( \alpha = 30^{\circ} \):

\( \sin(30^{\circ}) = 0.5 \)

\( \cos(30^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \)

\( сtg(30^{\circ}) = \frac{\cos(30^{\circ})}{\sin(30^{\circ})} = \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \sqrt{3} \)

2. Вычислим числитель:

\[ \sin^2(30^{\circ}) + \cos(2 \cdot 30^{\circ}) = (0.5)^2 + \cos(60^{\circ}) = 0.25 + 0.5 = 0.75 \]

3. Вычислим знаменатель:

\[ 0.5 сtg(30^{\circ}) = 0.5 \times \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

4. Разделим числитель на знаменатель:

\[ \frac{0.75}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{3/4}{\sqrt{3}/2} = \frac{3}{4} \times \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{6}{4\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} \]

Рационализируем знаменатель:

\[ \frac{3}{2\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

Оба способа дали одинаковый результат.

Ответ: $$\frac{\sqrt{3}}{2}$$