2. Решите систему уравнений: $$\begin{cases} x + y = 8, \\ \{x^2 + y^2 = 16 + 2xy.} \end{cases}$$

Question

$Фото задания: 2. Решите систему уравнений: $\begin{cases} x + y = 8, \\ \{x^2 + y^2 = 16 + 2xy.} \end{cases}$$ Фото задания

Accepted Answer

Рассмотрим второе уравнение системы:

$ x^2 + y^2 = 16 + 2xy $

Перенесём $ 2xy $ в левую часть:

$ x^2 - 2xy + y^2 = 16 $

Свернём левую часть по формуле квадрата разности:

$ (x-y)^2 = 16 $

Извлечём квадратный корень из обеих частей:

$ x-y = \pm 4 $

Получаем две возможные системы:

Система 1:

$ \begin{cases} x + y = 8 \\ x - y = 4 \end{cases} $

Сложим два уравнения:

$ (x+y) + (x-y) = 8 + 4 $

$ 2x = 12 $

$ x = 6 $

Подставим $ x=6 $ в первое уравнение: $ 6 + y = 8 $ → $ y = 2 $.

Система 2:

$ \begin{cases} x + y = 8 \\ x - y = -4 \end{cases} $

Сложим два уравнения:

$ (x+y) + (x-y) = 8 + (-4) $

$ 2x = 4 $

$ x = 2 $

Подставим $ x=2 $ в первое уравнение: $ 2 + y = 8 $ → $ y = 6 $.

Ответ: (6; 2) и (2; 6).