№ 5 Угол параллелограмма равен 150°, а стороны - 11 см и 3√3 см. Найдите площадь параллелограмма и его меньшую диагональ.

Решение:

1. Площадь параллелограмма:

Площадь параллелограмма вычисляется по формуле:

\( S = a \cdot b \cdot \sin(\alpha) \), где \( a \) и \( b \) — длины сторон, а \( \alpha \) — угол между ними.

По условию:

• Стороны: \( a = 11 \) см, \( b = 3\sqrt{3} \) см
• Угол между сторонами: \( \alpha = 150^{\circ} \)

Найдем синус угла 150°:

\( \sin(150^{\circ}) = \sin(180^{\circ} - 30^{\circ}) = \sin(30^{\circ}) = \frac{1}{2} \)

Теперь вычислим площадь:

\( S = 11 \text{ см} \cdot 3\sqrt{3} \text{ см} \cdot \frac{1}{2} \)

\( S = \frac{33\sqrt{3}}{2} \text{ см}^2 \)

2. Меньшая диагональ:

Угол, смежный с данным углом 150°, равен \( 180^{\circ} - 150^{\circ} = 30^{\circ} \). Меньшая диагональ будет напротив меньшего угла (в данном случае, напротив угла 30°).

Для нахождения диагонали используем теорему косинусов:

\( d^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\alpha) \), где \( \alpha \) — угол, напротив которого лежит диагональ \( d \).

В нашем случае, меньшая диагональ \( d_1 \) лежит напротив угла \( 30^{\circ} \). Используем сторону \( a = 11 \) см, сторону \( b = 3\sqrt{3} \) см и угол \( 30^{\circ} \).

\( d_1^2 = 11^2 + (3\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 11 \cdot 3\sqrt{3} \cdot \cos(30^{\circ}) \)

\( 11^2 = 121 \)

\( (3\sqrt{3})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 9 \cdot 3 = 27 \)

\( \cos(30^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \)

Подставим значения:

\( d_1^2 = 121 + 27 - 2 \cdot 11 \cdot 3\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \)

\( d_1^2 = 148 - 11 \cdot 3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \)

\( d_1^2 = 148 - 33 \cdot 3 \)

\( d_1^2 = 148 - 99 \)

\( d_1^2 = 49 \)

\( d_1 = \sqrt{49} \)

\( d_1 = 7 \text{ см} \)

Ответ: Площадь параллелограмма равна \( \frac{33\sqrt{3}}{2} \) см², а меньшая диагональ равна 7 см.