5. Решите неравенство: a) log_3 (3 - x) > log_3 (12 - 3x); б) $\frac{1}{6}$^{x-1} + $\frac{1}{6}$^{x+1} $\le$ 37;

Question

$Фото задания: 5. Решите неравенство: a) log_3 (3 - x) > log_3 (12 - 3x); б) $\frac{1}{6}$^{x-1} + $\frac{1}{6}$^{x+1} $\le$ 37;$ Фото задания

Accepted Answer

а) $log_3 (3 - x) > log_3 (12 - 3x)$

Поскольку основание логарифма $3 > 1$, то:

$3 - x > 12 - 3x$

$3x - x > 12 - 3$

$2x > 9$

$x > 4.5$

Также необходимо учесть условия существования логарифмов:

$3 - x > 0 \implies x < 3$

$12 - 3x > 0 \implies 12 > 3x \implies x < 4$

Пересечение всех условий: $x > 4.5$ и $x < 3$ и $x < 4$ — пустое множество.

б) $(\frac{1}{6})^{x-1} + (\frac{1}{6})^{x+1} \le 37$

Вынесем общий множитель $(\frac{1}{6})^{x-1}$:

$(\frac{1}{6})^{x-1} (1 + (\frac{1}{6})^2) \le 37$

$(\frac{1}{6})^{x-1} (1 + \frac{1}{36}) \le 37$

$(\frac{1}{6})^{x-1} (\frac{37}{36}) \le 37$

Разделим обе части на $\frac{37}{36}$ (положительное число, знак неравенства не меняется):

$(\frac{1}{6})^{x-1} \le 37 \cdot \frac{36}{37}$

$(\frac{1}{6})^{x-1} \le 36$

Представим $36$ как степень $6$:

$(\frac{1}{6})^{x-1} \le 6^2$

$6^{-(x-1)} \le 6^2$

$6^{-x+1} \le 6^2$

Поскольку основание логарифма $6 > 1$, то:

$-x+1 \le 2$

$-x \le 1$

$x \ge -1$

Ответ: а) ∅ (пустое множество); б) $x \ge -1$

5. Решите неравенство: a) log_3 (3 - x) > log_3 (12 - 3x); б) \(\frac{1}{6}\)^{x-1} + \(\frac{1}{6}\)^{x+1} \(\le\) 37;