4. Решите уравнение: a) \(\frac{1}{81}\)^{0,5x-1} = 9; б) log_7 (4x + 5) = 2; в) \(\sqrt{8-x^2}\) = \(\sqrt{-7x}\). г) 2sin x - 1 = 0.

Решение:

а) \((\frac{1}{81})^{0,5x-1} = 9\)

Представим числа в виде степеней тройки:

\((\frac{1}{3^4})^{0,5x-1} = 3^2\)

\((3^{-4})^{0,5x-1} = 3^2\)

\(3^{-4(0,5x-1)} = 3^2\)

Приравниваем показатели степеней:

\(-4(0,5x-1) = 2\)

\(-2x + 4 = 2\)

\(-2x = -2\)

\(x = 1\)

б) \(log_7 (4x + 5) = 2\)

По определению логарифма:

\(4x + 5 = 7^2\)

\(4x + 5 = 49\)

\(4x = 44\)

\(x = 11\)

в) \(\sqrt{8-x^2} = \sqrt{-7x}\)

Возведем обе части уравнения в квадрат:

\(8-x^2 = -7x\)

\(x^2 - 7x - 8 = 0\)

Найдём дискриминант:

\(D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 49 + 32 = 81\)

\(x_1 = \frac{7 + \sqrt{81}}{2} = \frac{7 + 9}{2} = 8\)

\(x_2 = \frac{7 - \sqrt{81}}{2} = \frac{7 - 9}{2} = -1\)

Проверим корни, подставив их в исходное уравнение:

При \(x = 8\): \(\sqrt{8-8^2} = \sqrt{8-64} = \sqrt{-56}\) — не имеет смысла.

При \(x = -1\): \(\sqrt{8-(-1)^2} = \sqrt{8-1} = \sqrt{7}\) и \(\sqrt{-7(-1)} = \sqrt{7}\). Корень \(x=-1\) подходит.

г) \(2\sin x - 1 = 0\)

\(2\sin x = 1\)

\(\sin x = \frac{1}{2}\)

\(x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k\), где \(k \in \mathbb{Z}\).

Ответ: а) 1; б) 11; в) -1; г) \(x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}\)