5. Решите графически систему уравнений: \( \begin{cases} x + 3y = 6 \\ 2x + y = 7 \end{cases} \)

Решение:

Чтобы решить систему графически, нужно построить графики обоих уравнений и найти точку их пересечения.

1. График уравнения \( x + 3y = 6 \)

Выразим \( y \) через \( x \):

\( 3y = 6 - x \)

\( y = \frac{6 - x}{3} \) или \( y = 2 - \frac{1}{3}x \)

Найдем две точки для построения:

• Если \( x = 0 \), то \( y = 2 - \frac{1}{3} \cdot 0 = 2 \). Точка: (0; 2).
• Если \( x = 3 \), то \( y = 2 - \frac{1}{3} \cdot 3 = 2 - 1 = 1 \). Точка: (3; 1).

2. График уравнения \( 2x + y = 7 \)

Выразим \( y \) через \( x \):

\( y = 7 - 2x \)

Найдем две точки для построения:

• Если \( x = 0 \), то \( y = 7 - 2 \cdot 0 = 7 \). Точка: (0; 7).
• Если \( x = 3 \), то \( y = 7 - 2 \cdot 3 = 7 - 6 = 1 \). Точка: (3; 1).

3. Построение графиков и нахождение точки пересечения

Начертим координатную плоскость и отметим найденные точки для каждого уравнения. Проведём через них прямые.

\( \)

Визуально видно, что графики пересекаются в точке (3; 1).

4. Проверка

Подставим \( x = 3 \) и \( y = 1 \) в исходную систему:

• Первое уравнение: \( 3 + 3 \cdot 1 = 3 + 3 = 6 \). Верно.
• Второе уравнение: \( 2 \cdot 3 + 1 = 6 + 1 = 7 \). Верно.

Ответ: \( (3; 1) \).