5. Разложите на множители: 1) 16x² - 49; 2) 9a² + 30ab + 25b²; 3) y³ + 18y² + 81y; 4) xy⁴ - 2y⁴ - xy + 2y.

Решение:

Для разложения на множители используем формулы сокращённого умножения и вынесение общего множителя за скобки.

1. 1) \( 16x^2 - 49 \): Это разность квадратов по формуле \( x^2 - y^2 = (x-y)(x+y) \). Здесь \( x = 4x \) (поскольку \( (4x)^2 = 16x^2 \)) и \( y = 7 \) (поскольку \( 7^2 = 49 \)).
   \( (4x - 7)(4x + 7) \)
2. 2) \( 9a^2 + 30ab + 25b^2 \): Это квадрат суммы по формуле \( x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2 \). Здесь \( x = 3a \) (поскольку \( (3a)^2 = 9a^2 \)) и \( y = 5b \) (поскольку \( (5b)^2 = 25b^2 \)). Проверим средний член: \( 2 · 3a · 5b = 30ab \), что совпадает с выражением.
   \( (3a + 5b)^2 \)
3. 3) \( y^3 + 18y^2 + 81y \): Сначала вынесем общий множитель \( y \) за скобки:
   \( y(y^2 + 18y + 81) \)
   Теперь выражение в скобках — это квадрат суммы \( y^2 + 2 · y · 9 + 9^2 = (y+9)^2 \).
   \( y(y + 9)^2 \)
4. 4) \( xy^4 - 2y^4 - xy + 2y \): Сгруппируем слагаемые:
   \( (xy^4 - 2y^4) - (xy - 2y) \)
   Вынесем общие множители из каждой группы:
   \( y^4(x - 2) - y(x - 2) \)
   Теперь вынесем общий множитель \( (x - 2) \) за скобки:
   \( (x - 2)(y^4 - y) \)
   Можно ещё вынести \( y \) из второй скобки:
   \( (x - 2)y(y^3 - 1) \)

Ответ: 1) \( (4x - 7)(4x + 7) \); 2) \( (3a + 5b)^2 \); 3) \( y(y + 9)^2 \); 4) \( (x - 2)y(y^3 - 1) \).