5. При подозрении на наличие некоторого заболевания пациента отправляют на ПЦР-тест. Если заболевание действительно есть, то тест подтверждает его в 81% случаев. Если заболевания нет, то тест выявляет отсутствие заболевания в среднем в 99% случаев. Известно, что в среднем тест оказывается положительным у 15% пациентов, направленных на тестирование. При обследовании некоторого пациента врач направил его на ПЦР-тест, который оказался положительным. Какова вероятность того, что пациент действительно имеет это заболевание?

Пусть З - наличие заболевания, Т+ - положительный тест.

Дано: P(Т+|З) = 0.81, P(Т-|З') = 0.99 (где З' - отсутствие заболевания), P(Т+) = 0.15.

Из P(Т-|З') = 0.99 следует P(Т+|З') = 1 - P(Т-|З') = 1 - 0.99 = 0.01.

Используем формулу Байеса: P(З|Т+) = [P(Т+|З) * P(З)] / P(Т+).

Также P(Т+) = P(Т+|З) * P(З) + P(Т+|З') * P(З').

Из P(Т+) = 0.15 и P(Т+|З') = 0.01, P(Т+|З) = 0.81, P(З') = 1 - P(З), получаем:

0.15 = 0.81 * P(З) + 0.01 * (1 - P(З))

0.15 = 0.81 * P(З) + 0.01 - 0.01 * P(З)

0.14 = 0.80 * P(З)

P(З) = 0.14 / 0.80 = 0.175.

Теперь найдем P(З|Т+):

P(З|Т+) = (0.81 * 0.175) / 0.15 = 0.14175 / 0.15 = 0.945.