5. Правильная четырёхугольная пирамида, все рёбра которой равны 18, пересечена плоскостью, параллельной основанию пирамиды и проходящей через середины боковых рёбер. Найдите высоту и апофему полученной усечённой пирамиды.

Решение:

1. Найдём высоту и апофему исходной пирамиды:

• Так как все рёбра равны 18, основание — квадрат со стороной \( a = 18 \) см.
• Диагональ основания: \( d = a\sqrt{2} = 18\sqrt{2} \) см.
• Расстояние от центра основания до вершины: \( \frac{d}{2} = 9\sqrt{2} \) см.
• Высота пирамиды \( H \) (по теореме Пифагора с боковым ребром 18): \( H = \sqrt{18^2 - (9\sqrt{2})^2} = \sqrt{324 - 81 \cdot 2} = \sqrt{324 - 162} = \sqrt{162} = 9\sqrt{2} \) см.
• Апофема \( l \) (по теореме Пифагора с половиной стороны основания 9): \( l = \sqrt{18^2 - 9^2} = \sqrt{324 - 81} = \sqrt{243} = 9\sqrt{3} \) см.

2. Найдём высоту и апофему усечённой пирамиды:

• Плоскость проходит через середины боковых рёбер, следовательно, она делит высоту и апофему исходной пирамиды пополам (по теореме о средней линии в треугольнике, образованном апофемой, высотой и отрезком до середины стороны основания).
• Высота усечённой пирамиды \( h = \frac{H}{2} = \frac{9\sqrt{2}}{2} \) см.
• Апофема усечённой пирамиды \( l_{ус} = \frac{l}{2} = \frac{9\sqrt{3}}{2} \) см.

Ответ: Высота \( h = \frac{9\sqrt{2}}{2} \) см, апофема \( l_{ус} = \frac{9\sqrt{3}}{2} \) см.