3. В правильной четырёхугольной пирамиде апофема равна 1, и образует с высотой угол В. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

Question

Вопрос:

Accepted Answer

1. Определим апофему и высоту:

Апофема пирамиды \( l=1 \).
В правильной четырёхугольной пирамиде апофема, высота и отрезок, соединяющий середину стороны основания с центром основания, образуют прямоугольный треугольник.
Угол между апофемой и высотой равен \( \beta \).
В этом прямоугольном треугольнике апофема — гипотенуза.

2. Выразим высоту и половину стороны основания через апофему и угол:

Высота пирамиды \( H = l \cos \beta = 1 \cdot \cos \beta = \cos \beta \).
Половина стороны основания \( a/2 = l \sin \beta = 1 \cdot \sin \beta = \sin \beta \).
Сторона основания \( a = 2 \sin \beta \).

3. Найдём площадь полной поверхности:

Площадь полной поверхности пирамиды равна сумме площади основания и площади боковой поверхности: \( S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} \).
Площадь основания (квадрат): \( S_{осн} = a^2 = (2 \sin \beta)^2 = 4 \sin^2 \beta \).
Площадь боковой поверхности: \( S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} \cdot l = \frac{1}{2} (4a) \cdot 1 = 2a = 2(2 \sin \beta) = 4 \sin \beta \).
Площадь полной поверхности: \( S_{полн} = 4 \sin^2 \beta + 4 \sin \beta \).

Ответ: \( 4 \sin^2 \beta + 4 \sin \beta \).