4. Основание пирамиды — прямоугольник со сторонами 6см и 8см. Высота пирамиды проходит через одну из вершин основания и равна 8см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды

Решение:

1. Найдём площадь основания:

• Основание — прямоугольник со сторонами \( a = 6 \) см и \( b = 8 \) см.
• \( S_{осн} = a \cdot b = 6 \cdot 8 = 48 \) см².

2. Найдём апофемы боковых граней:

• Высота пирамиды \( H = 8 \) см.
• Рассмотрим две пары боковых граней:
  1. Грани с основанием 8 см:
  • Высота пирамиды \( H = 8 \) см.
  • Апофема \( l_1 \) — это катет прямоугольного треугольника, второй катет — сторона основания \( a = 6 \) см, гипотенуза — боковое ребро.
  • \( l_1 = \sqrt{H^2 + a^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 \) см.
  • Площадь двух таких граней: \( 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 10 = 80 \) см².
  2. Грани с основанием 6 см:
  • Высота пирамиды \( H = 8 \) см.
  • Апофема \( l_2 \) — это катет прямоугольного треугольника, второй катет — сторона основания \( b = 8 \) см, гипотенуза — боковое ребро.
  • \( l_2 = \sqrt{H^2 + b^2} = \sqrt{8^2 + 8^2} = \sqrt{64 + 64} = \sqrt{128} = 8\sqrt{2} \) см.
  • Площадь двух таких граней: \( 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8\sqrt{2} = 48\sqrt{2} \) см².

3. Найдём площадь полной поверхности:

• \( S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} \)
• \( S_{бок} = 80 + 48\sqrt{2} \) см².
• \( S_{полн} = 48 + 80 + 48\sqrt{2} = 128 + 48\sqrt{2} \) см².

Ответ: \( 128 + 48\sqrt{2} \) см².