5*. Необязательное задание. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y=sin x, y=-2 sin x, 0 ≤ x ≤ 2π/3.

Решение:

Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями \( y = \sin x \) и \( y = -2 \sin x \) на промежутке \( \left[ 0, \frac{2\pi}{3} \right] \), нужно найти интеграл от разности верхнего и нижнего графиков.

На промежутке \( \left[ 0, \frac{2\pi}{3} \right] \), \( \sin x \ge 0 \). Следовательно, \( \sin x \ge -2 \sin x \).

Значит, \( y = \sin x \) — верхняя граница, а \( y = -2 \sin x \) — нижняя граница.

Площадь \( S \) вычисляется как:

\[ S = \int_{0}^{\frac{2\pi}{3}} (\sin x - (-2 \sin x)) dx \]\[ S = \int_{0}^{\frac{2\pi}{3}} (\sin x + 2 \sin x) dx \]\[ S = \int_{0}^{\frac{2\pi}{3}} 3 \sin x dx \]

Теперь вычислим интеграл:

\[ S = 3 \left[ -\cos x \right]_{0}^{\frac{2\pi}{3}} \]\[ S = 3 \left( -\cos \left( \frac{2\pi}{3} \right) - (-\cos(0)) \right) \]

Значения косинусов:

\( \cos \left( \frac{2\pi}{3} \right) = -\frac{1}{2} \)

\( \cos(0) = 1 \)

Подставляем значения:

\[ S = 3 \left( -\left(-\frac{1}{2}\right) - (-1) \right) \]

\[ S = 3 \left( \frac{1}{2} + 1 \right) \]

\[ S = 3 \left( \frac{3}{2} \right) \]

\[ S = \frac{9}{2} \]

Ответ: \( \frac{9}{2} \).