4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: а) y=2x², y=0, x=2; б) y=2x², y=2, x=2.

Решение:

а) Фигура, ограниченная линиями \( y=2x^2 \), \( y=0 \), \( x=2 \).

Линия \( y=0 \) — это ось абсцисс. Нам нужно найти площадь под параболой \( y=2x^2 \) от \( x=0 \) до \( x=2 \).

\[ S_a = \int_{0}^{2} 2x^2 dx \]\[ S_a = \left[ \frac{2x^3}{3} \right]_{0}^{2} \]\[ S_a = \frac{2 \cdot 2^3}{3} - \frac{2 \cdot 0^3}{3} \]\[ S_a = \frac{2 \cdot 8}{3} - 0 \]\[ S_a = \frac{16}{3} \]

б) Фигура, ограниченная линиями \( y=2x^2 \), \( y=2 \), \( x=2 \).

Сначала найдём точку пересечения \( y=2x^2 \) и \( y=2 \):

\[ 2x^2 = 2 \]\[ x^2 = 1 \]

Так как \( x=2 \) — граница, нас интересует \( x=1 \) (при \( x \ge 0 \)).

Площадь фигуры будет вычисляться как интеграл от верхней границы \( y=2 \) минус нижняя граница \( y=2x^2 \) от \( x=1 \) до \( x=2 \).

\[ S_b = \int_{1}^{2} (2 - 2x^2) dx \]\[ S_b = \left[ 2x - \frac{2x^3}{3} \right]_{1}^{2} \]\[ S_b = \left( 2 \cdot 2 - \frac{2 \cdot 2^3}{3} \right) - \left( 2 \cdot 1 - \frac{2 \cdot 1^3}{3} \right) \]\[ S_b = \left( 4 - \frac{16}{3} \right) - \left( 2 - \frac{2}{3} \right) \]\[ S_b = \left( \frac{12}{3} - \frac{16}{3} \right) - \left( \frac{6}{3} - \frac{2}{3} \right) \]\[ S_b = \left( -\frac{4}{3} \right) - \left( \frac{4}{3} \right) \]\[ S_b = -\frac{8}{3} \]

Площадь не может быть отрицательной. Проверим условие. Линии: \( y=2x^2 \), \( y=2 \), \( x=2 \). Нам нужно найти площадь между \( y=2x^2 \) и \( y=2 \) при \( x=2 \). Точка пересечения \( y=2x^2 \) и \( y=2 \) при \( x > 0 \) есть \( x=1 \). Значит, мы ищем площадь между \( x=1 \) и \( x=2 \) между функциями \( y=2 \) и \( y=2x^2 \).

\[ S_b = \int_{1}^{2} (2 - 2x^2) dx = \left[ 2x - \frac{2x^3}{3} \right]_1^2 = (4 - \frac{16}{3}) - (2 - \frac{2}{3}) = \frac{12-16}{3} - \frac{6-2}{3} = -\frac{4}{3} - \frac{4}{3} = -\frac{8}{3} \]

Ошибка в понимании задачи. Если \( y=2x^2 \), \( y=2 \) и \( x=2 \) — границы, то нужно учесть, что \( y=2x^2 \) находится ниже \( y=2 \) для \( x>1 \) и выше для \( x<1 \).

Возможно, имеется в виду фигура, ограниченная \( y=2x^2 \), \( y=2 \) и \( x=0 \) до \( x=2 \). В этом случае площадь будет:

\[ S_b = \int_{0}^{1} (2 - 2x^2) dx + \int_{1}^{2} (2x^2 - 2) dx \]

или, если \( x=2 \) — одна из границ, а \( y=2 \) — другая, то точка пересечения \( y=2x^2 \) и \( y=2 \) при \( x \ge 0 \) — это \( x=1 \).

Если границы \( y=2x^2 \), \( y=2 \), \( x=2 \) то нужно понимать, что \( y=2 \) пересекает \( y=2x^2 \) при \( x=1 \). Таким образом, область ограничена сверху \( y=2 \) (до \( x=1 \)) и \( y=2x^2 \) (после \( x=1 \)), снизу \( y=2x^2 \) (до \( x=1 \)) и \( y=2 \) (после \( x=1 \)). Линия \( x=2 \) — вертикальная граница.

Задача б) сформулирована не совсем корректно для однозначного определения области. Предположим, что речь идет о фигуре, ограниченной \( y=2x^2 \), \( y=2 \) и \( x=2 \) в первой четверти. Тогда границами по \( x \) будут \( x=1 \) (где \( 2x^2=2 \)) и \( x=2 \). Верхняя граница \( y=2 \), нижняя \( y=2x^2 \).

\[ S_b = \int_{1}^{2} (2 - 2x^2) dx \]

Этот расчет уже был сделан и дал отрицательный результат, что означает, что \( 2x^2 > 2 \) в этом интервале.

Переосмыслим задачу б): \( y=2x^2 \), \( y=2 \), \( x=2 \). В первой четверти \( y=2x^2 \) проходит через \( (0,0) \), \( (1,2) \), \( (2,8) \). Линия \( y=2 \) — горизонтальная. Линия \( x=2 \) — вертикальная.

Если область ограничена \( y=2x^2 \) (снизу), \( y=2 \) (сверху) и \( x=2 \) (справа), то областью является фигура между \( x=0 \) и \( x=1 \) над \( y=2x^2 \) и под \( y=2 \), и затем от \( x=1 \) до \( x=2 \) над \( y=2 \) и под \( y=2x^2 \) — но это не соответствует условию.

Наиболее вероятная интерпретация для б): площадь между \( y=2x^2 \) и \( y=2 \) от \( x=0 \) до \( x=1 \) (где \( 2x^2 \) ниже \( y=2 \)), и затем площадь между \( y=2x^2 \) и \( y=2 \) от \( x=1 \) до \( x=2 \) (где \( 2x^2 \) выше \( y=2 \)), но условие \( x=2 \) намекает на правую границу.

Если \( y=2x^2 \), \( y=2 \) и \( x=2 \) — это все границы, то мы ищем площадь, ограниченную этими тремя линиями. Точка пересечения \( y=2x^2 \) и \( y=2 \) — \( x=1 \). Точка пересечения \( y=2x^2 \) и \( x=2 \) — \( (2,8) \). Точка пересечения \( y=2 \) и \( x=2 \) — \( (2,2) \).

Область в первой четверти, ограниченная \( y=2x^2 \) (снизу), \( y=2 \) (сверху) и \( x=2 \) (справа) — это нелогично.

Предположим, что \( x=2 \) — это просто вертикальная граница, а \( y=2x^2 \) и \( y=2 \) — верхняя и нижняя границы. Точка пересечения \( x=1 \). Если \( x \in [0, 1] \), то \( 2x^2 ≤ 2 \). Если \( x ∈ [1, 2] \), то \( 2x^2 ≥ 2 \).

Возможно, имеется в виду площадь между \( y=2x^2 \) и \( y=2 \) для \( x \in [0, 2] \). Но тогда \( x=2 \) не является границей, а просто верхней точкой.

Если \( y=2x^2 \), \( y=2 \) и \( x=2 \) — это все границы, и мы в первой четверти, то возможная область — это фигура, ограниченная \( y=2x^2 \) (снизу), \( x=1 \) (слева, где \( y=2x^2 \) пересекает \( y=2 \)), \( y=2 \) (сверху, до \( x=1 \)), и \( x=2 \) (справа). Но это всё равно неясно.

Давайте предположим, что речь идет о площади фигуры, ограниченной \( y=2x^2 \) и \( y=2 \) между \( x=1 \) и \( x=2 \). Тогда \( 2x^2 \) будет верхней границей, а \( y=2 \) — нижней.

\[ S_b = \int_{1}^{2} (2x^2 - 2) dx \]\[ S_b = \left[ \frac{2x^3}{3} - 2x \right]_{1}^{2} \]\[ S_b = \left( \frac{2 · 2^3}{3} - 2 · 2 \right) - \left( \frac{2 · 1^3}{3} - 2 · 1 \right) \]\[ S_b = \left( \frac{16}{3} - 4 \right) - \left( \frac{2}{3} - 2 \right) \]\[ S_b = \left( \frac{16 - 12}{3} \right) - \left( \frac{2 - 6}{3} \right) \]\[ S_b = \frac{4}{3} - \left( -\frac{4}{3} \right) \]\[ S_b = \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = \frac{8}{3} \]

Ответ: а) \( \frac{16}{3} \); б) \( \frac{8}{3} \).