5. Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 4 и не превышающих 150.

Натуральные числа, кратные 4, образуют арифметическую прогрессию. Первый член этой прогрессии равен 4, разность d=4. Нужно найти сумму всех членов этой прогрессии, не превышающих 150.

Найдем последний член прогрессии. Это наибольшее число, кратное 4 и не превышающее 150:
\(150 \div 4 = 37.5\), значит, (4 * 37= 148) является последним членом прогрессии.
Используем формулу n-ого члена арифметической прогрессии (a_n = a_1 + (n - 1)d) чтобы найти количество членов (n):
(148 = 4 + (n-1)4)
(144 = (n-1)4)
(36 = n - 1)
(n=37)
Теперь найдем сумму 37 членов по формуле (S_n = \(\frac{n(a_1+a_n)}{2}\)):
(S_{37} = \(\frac{37(4 + 148)}{2}\))
(S_{37} = \(\frac{37(152)}{2}\))
\(S_{37} = 37 \cdot 76\)
(S_{37} = 2812)

Ответ: Сумма всех натуральных чисел, кратных 4 и не превышающих 150, равна 2812.