5. Найдите четыре последовательных натуральных числа таких, что произведение четвёртого и третьего из этих чисел на 42 больше произведения первого и второго.

Решение:

1. Обозначим первое натуральное число как n.
2. Тогда четыре последовательных натуральных числа будут: n, n+1, n+2, n+3.
3. Произведение первого и второго чисел: n ⋅ (n+1) = n² + n.
4. Произведение третьего и четвёртого чисел: (n+2) ⋅ (n+3) = n² + 3n + 2n + 6 = n² + 5n + 6.
5. По условию задачи, произведение третьего и четвёртого чисел на 42 больше произведения первого и второго:
• (n² + 5n + 6) = (n² + n) + 42
• n² + 5n + 6 = n² + n + 42
• 5n + 6 = n + 42
• 5n - n = 42 - 6
• 4n = 36
• n = 36 / 4
• n = 9
6. Найдем остальные числа:
• Первое число: n = 9
• Второе число: n + 1 = 9 + 1 = 10
• Третье число: n + 2 = 9 + 2 = 11
• Четвёртое число: n + 3 = 9 + 3 = 12
7. Проверим условие:
• Произведение первого и второго: 9 ⋅ 10 = 90.
• Произведение третьего и четвёртого: 11 ⋅ 12 = 132.
• Разница: 132 - 90 = 42. Условие выполняется.

Ответ: 9, 10, 11, 12