5. На рис. 25 ABCD — квадрат, AK = AM = CN = CL. Докажите, что MNLK — прямоугольник.

Пусть сторона квадрата равна \(a\), а \(AK=AM=CN=CL=t\). Введём координаты:

\(A(0,0),\ B(0,a),\ C(a,a),\ D(a,0)\).

Тогда:

\(M(0,t),\ N(a-t,a),\ L(a,a-t),\ K(t,0)\).

Найдём направляющие векторы соседних сторон:

\(\overrightarrow{MN}=(a-t,a-t)\),

\(\overrightarrow{NL}=(t,-t)\),

\(\overrightarrow{LK}=(-(a-t),-(a-t))\),

\(\overrightarrow{KM}=(-t,t)\).

Следовательно, \(MN\parallel LK\), а \(NL\parallel KM\), поэтому MNLK — параллелограмм.

Кроме того,

\(\overrightarrow{MN}\cdot\overrightarrow{NL}=(a-t)t-(a-t)t=0\).

Значит, \(\angle MNL=90^\circ\). Параллелограмм с прямым углом является прямоугольником.

Следовательно, MNLK — прямоугольник.