№5. Известно, что x₁ и x₂ - корни уравнения x²-3x-5=0. Найдите значение выражения 2x₁x₂ / -5x₁² - 5x₂²

Решение:

У нас есть квадратное уравнение x² - 3x - 5 = 0. По теореме Виета для этого уравнения:

• Сумма корней: x₁ + x₂ = -b/a = -(-3)/1 = 3
• Произведение корней: x₁ * x₂ = c/a = -5/1 = -5

Теперь рассмотрим выражение, значение которого нам нужно найти:

\[ \frac{2x_1x_2}{-5x_1^2 - 5x_2^2} \]

Вынесем в знаменателе общий множитель -5:

\[ \frac{2x_1x_2}{-5(x_1^2 + x_2^2)} \]

Нам нужно найти значение x₁² + x₂². Мы знаем, что (x₁ + x₂)² = x₁² + 2x₁x₂ + x₂².

Отсюда, x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂.

Подставим известные значения:

x₁² + x₂² = (3)² - 2 * (-5) = 9 + 10 = 19

Теперь подставим значения x₁x₂ и x₁² + x₂² в исходное выражение:

\[ \frac{2 * (-5)}{-5 * 19} = \frac{-10}{-95} \]

Сократим дробь на -5:

\[ \frac{-10}{-95} = \frac{2}{19} \]

Ответ: 2/19