5. Хорды MN и PK пересекаются в точке E. Известно, что ME = 3 см, NE = 2 см, а отрезок PE на 5 см меньше отрезка KE. Найдите длину хорды PK.

Решение:

1. Дано:
   • ME = 3 см
   • NE = 2 см
   • PE = KE - 5 см
2. Свойство пересекающихся хорд: Произведение отрезков пересекающихся хорд равны: ME * NE = PE * KE.
3. Подстановка значений:
• \[ 3 \text{ см} \times 2 \text{ см} = (KE - 5 \text{ см}) \times KE \]
• \[ 6 = KE^2 - 5KE \]
• \[ KE^2 - 5KE - 6 = 0 \]
4. Решение квадратного уравнения: Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \].
• \[ KE = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(1)(-6)}}{2(1)} \]
• \[ KE = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 24}}{2} \]
• \[ KE = \frac{5 \pm \sqrt{49}}{2} \]
• \[ KE = \frac{5 \pm 7}{2} \]
5. Выбор корректного значения KE:
• KE = \[ \frac{5 + 7}{2} = \frac{12}{2} = 6 \]
• KE = \[ \frac{5 - 7}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \] (Отрицательное значение не подходит для длины отрезка)
6. Нахождение PE:
• PE = KE - 5 см = 6 см - 5 см = 1 см
7. Нахождение длины хорды PK:
• PK = PE + KE = 1 см + 6 см = 7 см

Ответ: 7 см