5. Хорды MN и PK пересекаются в точке E. Известно, что ME = 3 см, NE = 2 см, а отрезок PE на 5 см меньше отрезка KE. Найдите длину хорды PK.

Решение:

Согласно свойству пересекающихся хорд в окружности, произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

\( ME · NE = PE · KE \)

Известно, что:

• \( ME = 3 \) см
• \( NE = 2 \) см
• \( PE = KE - 5 \) см

Подставим известные значения в формулу:

\( 3 \text{ см} · 2 \text{ см} = (KE - 5 \text{ см}) · KE \)

\( 6 = KE^2 - 5KE \)

Перенесём все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\( KE^2 - 5KE - 6 = 0 \)

Решим это квадратное уравнение относительно \( KE \). Можно использовать теорему Виета или формулу дискриминанта.

По теореме Виета, нам нужно найти два числа, произведение которых равно \( -6 \), а сумма равна \( 5 \).

Эти числа: \( 6 \) и \( -1 \).

Значит, \( KE = 6 \) или \( KE = -1 \).

Так как длина отрезка не может быть отрицательной, \( KE = 6 \) см.

Теперь найдём длину отрезка PE:

\( PE = KE - 5 \text{ см} = 6 \text{ см} - 5 \text{ см} = 1 \text{ см} \)

Длина хорды PK равна сумме длин отрезков PE и KE:

\( PK = PE + KE = 1 \text{ см} + 6 \text{ см} = 7 \text{ см} \)

Ответ: Длина хорды PK равна 7 см.