6. В окружности с центром в точке О, хорды AB и CD параллельны, а хорда AC является диаметром. а) Докажите, что ABCD — прямоугольник. б) Найдите угол между диагоналями этого прямоугольника, если известно, что ∠CAB = 20°.

Решение:

а) Доказательство, что ABCD — прямоугольник:

1. Так как AC — диаметр окружности, то углы, опирающиеся на диаметр, равны \( 90^\circ \). Следовательно, \( ∠ ABC = 90^\circ \) и \( ∠ ADC = 90^\circ \).
2. Дано, что хорды AB и CD параллельны (AB || CD).
3. Так как AB || CD, то внутренние накрест лежащие углы при секущей AC равны: \( ∠ BAC = ∠ ACD \).
4. Также, внутренние накрест лежащие углы при секущей BD равны: \( ∠ ABD = ∠ BDC \).
5. Углы \( ∠ BAC \) и \( ∠ BDC \) опираются на одну дугу BC, поэтому они равны: \( ∠ BAC = ∠ BDC \).
6. Из равенства \( ∠ ABD = ∠ BDC \) и \( ∠ BAC = ∠ BDC \) следует, что \( ∠ ABD = ∠ BAC \).
7. В треугольнике ABC: \( ∠ ACB = 90^\circ - ∠ BAC \) (сумма острых углов прямоугольного треугольника).
8. В треугольнике BCD: \( ∠ CBD = 90^\circ - ∠ BDC \) (сумма острых углов прямоугольного треугольника, так как \( ∠ BCD = 90^\circ \) — опирается на диаметр BD, но BD не обязательно диаметр. Угол \( ∠ BCD \) равен \( 180^\circ - ∠ BAD \), т.к. ABCD вписанный).
9. Вернемся к \( ∠ BAC = ∠ ACD \).
10. Углы \( ∠ ACB \) и \( ∠ CAD \) опираются на одну дугу CD, поэтому \( ∠ ACB = ∠ CAD \).
11. Мы знаем, что \( ∠ ABC = 90^\circ \) и \( ∠ ADC = 90^\circ \).
12. Рассмотрим углы \( ∠ CAD \) и \( ∠ ACB \). Они равны, так как опираются на дугу CD.
13. Рассмотрим углы \( ∠ BAC \) и \( ∠ BDC \). Они равны, так как опираются на дугу BC.
14. Так как AB || CD, то \( ∠ BAC = ∠ ACD \) (накрест лежащие углы при секущей AC).
15. Значит, \( ∠ BDC = ∠ ACD \).
16. В треугольнике ACD, \( ∠ CAD \) и \( ∠ ACD \).
17. Угол \( ∠ ACB \) равен \( 90^\circ - ∠ BAC \).
18. Угол \( ∠ BCD = ∠ BCA + ∠ ACD = (90^\circ - ∠ BAC) + ∠ BAC = 90^\circ \).
19. Итак, мы имеем: \( ∠ ABC = 90^\circ \), \( ∠ ADC = 90^\circ \), \( ∠ BCD = 90^\circ \).
20. Так как сумма углов четырёхугольника равна \( 360^\circ \), то \( ∠ BAD = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 90^\circ = 90^\circ \).
21. Таким образом, все углы четырёхугольника ABCD равны \( 90^\circ \). Следовательно, ABCD — прямоугольник.

б) Нахождение угла между диагоналями:

1. Угол \( ∠ CAB = 20^\circ \).
2. Так как ABCD — прямоугольник, то его диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Обозначим точку пересечения диагоналей как O.
3. \( AC = BD \) и \( AO = OC = BO = OD \).
4. Рассмотрим треугольник AOB. Он равнобедренный, так как \( AO = BO \).
5. Угол \( ∠ CAB = 20^\circ \).
6. В равнобедренном треугольнике AOB, \( ∠ ABO = ∠ CAB = 20^\circ \) (углы при основании).
7. Сумма углов треугольника AOB равна \( 180^\circ \).
8. \( ∠ AOB = 180^\circ - (∠ OAB + ∠ OBA) \)
9. \( ∠ AOB = 180^\circ - (20^\circ + 20^\circ) \)
10. \( ∠ AOB = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ \)
11. Угол между диагоналями может быть как \( ∠ AOB \), так и смежный с ним угол \( ∠ BOC \).
12. \( ∠ BOC = 180^\circ - ∠ AOB = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ \).
13. Обычно под углом между диагоналями понимают острый угол.

Ответ: а) ABCD — прямоугольник. б) Угол между диагоналями равен 40°.