6. В окружности с центром в точке O, хорды AB и CD параллельны, а хорда AC является диаметром. а) Докажите, что ABCD — прямоугольник. б) Найдите угол между диагоналями этого прямоугольника, если известно, что ∠CAB = 20°.

Решение:

а) Доказательство:

• Так как AC — диаметр, то $$ ext{ угол } ABC $$ и $$ ext{ угол } ADC $$ опираются на диаметр, следовательно, они равны 90°.
• $$ ext{ угол } ABC = 90° $$, $$ ext{ угол } ADC = 90° $$.
• Хорды AB и CD параллельны. AC — секущая.
• $$ ext{ угол } BAC $$ и $$ ext{ угол } ACD $$ — накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и CD и секущей AC.
• Следовательно, $$ ext{ угол } BAC = ext{ угол } ACD = 20° $$.
• Хорды AB и CD параллельны. BD — секущая.
• $$ ext{ угол } ABD $$ и $$ ext{ угол } BDC $$ — накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и CD и секущей BD.
• $$ ext{ угол } ABD = ext{ угол } BDC $$.
• Рассмотрим дуги, на которые опираются равные накрест лежащие углы $$ ext{ угол } BAC $$ и $$ ext{ угол } ACD $$.
• Дуга BC опирается на $$ ext{ угол } BAC $$.
• Дуга AD опирается на $$ ext{ угол } ACD $$.
• Так как $$ ext{ угол } BAC = ext{ угол } ACD $$, то дуги BC и AD равны.
• Равные дуги стягиваются равными хордами, значит, $$ BC = AD $$.
• В четырёхугольнике ABCD:
• $$ ext{ угол } ABC = 90° $$, $$ ext{ угол } ADC = 90° $$.
• $$ BC = AD $$.
• Кроме того, AB || CD.
• Рассмотрим $$ riangle ABC $$ и $$ riangle ADC $$.
• $$ AC $$ — общий катет.
• $$ ext{ угол } ABC = ext{ угол } ADC = 90° $$.
• $$ BC = AD $$.
• По гипотенузе и катету $$ riangle ABC = riangle ADC $$.
• Следовательно, $$ AB = DC $$.
• Мы получили, что противоположные стороны четырёхугольника ABCD равны ($$ AB = DC $$ и $$ BC = AD $$).
• Также углы $$ ext{ угол } ABC = ext{ угол } ADC = 90° $$.
• Это означает, что ABCD — прямоугольник.

б) Нахождение угла между диагоналями:

• Так как ABCD — прямоугольник, его диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам.
• Диагонали — AC и BD. Они пересекаются в точке O (центр окружности).
• $$ AO = OC = BO = OD $$.
• Рассмотрим $$ riangle AOC $$. $$ AO = OC $$, значит, $$ riangle AOC $$ — равнобедренный.
• $$ ext{ угол } OAC = ext{ угол } OCA $$.
• $$ ext{ угол } OAC $$ — это $$ ext{ угол } BAC $$, который равен 20°.
• Следовательно, $$ ext{ угол } OCA = 20° $$.
• $$ ext{ угол } AOC $$ — угол между диагоналями AC и BD (так как O лежит на BD).
• $$ ext{ угол } AOC = 180° - ( ext{ угол } OAC + ext{ угол } OCA) = 180° - (20° + 20°) = 180° - 40° = 140° $$.
• Углы между диагоналями могут быть острым или тупым. Обычно ищут острый угол.
• Другой угол между диагоналями — $$ ext{ угол } AOB $$.
• $$ ext{ угол } AOB = 180° - ext{ угол } AOC = 180° - 140° = 40° $$.

Ответ: а) Доказано. б) 40°