4. Около прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С описана окружность. Из вершины С проведена высота СН к гипотенузе АВ. Найдите ∠ACH, если ∠B = 68°.

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC (\( ∠ C = 90^\circ \)), высота CH проведена к гипотенузе AB.

Рассмотрим прямоугольный треугольник CHB. Сумма углов в треугольнике равна \( 180^\circ \). В \( △ CHB \):

\( ∠ CHB + ∠ HCB + ∠ B = 180^\circ \)

Так как CH — высота, \( ∠ CHB = 90^\circ \).

\( 90^\circ + ∠ HCB + 68^\circ = 180^\circ \)

\( ∠ HCB + 158^\circ = 180^\circ \)

\( ∠ HCB = 180^\circ - 158^\circ = 22^\circ \)

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. Сумма острых углов равна \( 90^\circ \):

\( ∠ A + ∠ B = 90^\circ \)

\( ∠ A + 68^\circ = 90^\circ \)

\( ∠ A = 90^\circ - 68^\circ = 22^\circ \)

Угол ACB является прямым углом и равен \( 90^\circ \). Он состоит из двух углов: \( ∠ ACH \) и \( ∠ HCB \).

\( ∠ ACB = ∠ ACH + ∠ HCB \)

\( 90^\circ = ∠ ACH + 22^\circ \)

\( ∠ ACH = 90^\circ - 22^\circ = 68^\circ \)

Ответ: ∠ACH = 68°.