5. \(\frac{1}{2}x^2 - \frac{5}{12}x - \frac{1}{2} = 0\)

Решение:

Умножим всё уравнение на 12, чтобы избавиться от дробей:

\[ 12 \cdot \left( \frac{1}{2}x^2 - \frac{5}{12}x - \frac{1}{2} \right) = 12 \cdot 0 \]

\[ 6x^2 - 5x - 6 = 0 \]

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\( a = 6, b = -5, c = -6 \)

\[ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-6) = 25 + 144 = 169 \]

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{169}}{2 \cdot 6} = \frac{5 + 13}{12} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2} \]

\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{169}}{2 \cdot 6} = \frac{5 - 13}{12} = \frac{-8}{12} = -\frac{2}{3} \]

Ответ: x₁ = \(\frac{3}{2}\), x₂ = -\(\frac{2}{3}\).