5. Два данных угла относятся как 1:2, а смежные с ними — как 5:4. Найдите данные углы.

Решение:

Пусть два данных угла — это \( \alpha_1 \) и \( \alpha_2 \). По условию \( \alpha_1 : \alpha_2 = 1:2 \).

Пусть смежные с ними углы — это \( \beta_1 \) и \( \beta_2 \), причем \( \beta_1 \) смежен с \( \alpha_1 \), а \( \beta_2 \) смежен с \( \alpha_2 \). По условию \( \beta_1 : \beta_2 = 5:4 \).

1. Из соотношения \( \alpha_1 : \alpha_2 = 1:2 \) следует, что \( \alpha_2 = 2\alpha_1 \).
2. Так как \( \alpha_1 \) и \( \alpha_2 \) смежные (сумма 180°), то \( \alpha_1 + \alpha_2 = 180^\circ \).
3. Подставим \( \alpha_2 = 2\alpha_1 \): \( \alpha_1 + 2\alpha_1 = 180^\circ \) \( \Rightarrow 3\alpha_1 = 180^\circ \) \( \Rightarrow \alpha_1 = 60^\circ \).
4. Тогда \( \alpha_2 = 2 \times 60^\circ = 120^\circ \).
5. Первая пара углов найдена: 60° и 120°.
6. Теперь найдем смежные с ними углы. \( \beta_1 \) смежен с \( \alpha_1 \), значит \( \beta_1 = 180^\circ - \alpha_1 = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \).
7. \( \beta_2 \) смежен с \( \alpha_2 \), значит \( \beta_2 = 180^\circ - \alpha_2 = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \).
8. Теперь проверим соотношение смежных углов: \( \beta_1 : \beta_2 = 120^\circ : 60^\circ = 2:1 \).
9. Это не соответствует условию \( \beta_1 : \beta_2 = 5:4 \). Следовательно, \( \alpha_1 \) и \( \alpha_2 \) не являются смежными углами друг с другом.
10. Предположим, что \( \alpha_1 \) и \( \alpha_2 \) — это два угла, которые могут быть частью одной пары вертикальных углов.
11. Пусть \( \alpha \) и \( \beta \) — углы, образованные при пересечении двух прямых, причем \( \alpha + \beta = 180^\circ \).
12. У нас есть два угла, относящиеся как 1:2. Пусть это будут \( x \) и \( 2x \).
13. У нас есть два смежных с ними угла. Если \( x \) и \( 2x \) — это углы, то смежными с ними будут \( 180^\circ - x \) и \( 180^\circ - 2x \).
14. Соотношение смежных углов: \( (180^\circ - x) : (180^\circ - 2x) = 5:4 \).
15. Составим пропорцию: \( 4(180^\circ - x) = 5(180^\circ - 2x) \).
16. Раскроем скобки: \( 720^\circ - 4x = 900^\circ - 10x \).
17. Перенесем члены с \( x \) в одну сторону, а числа — в другую: \( 10x - 4x = 900^\circ - 720^\circ \).
18. \( 6x = 180^\circ \).
19. \( x = 180^\circ / 6 = 30^\circ \).
20. Тогда первый данный угол равен \( x = 30^\circ \).
21. Второй данный угол равен \( 2x = 2 \times 30^\circ = 60^\circ \).
22. Найдем смежные с ними углы:
23. Смежный с 30°: \( 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ \).
24. Смежный с 60°: \( 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \).
25. Проверим соотношение смежных углов: \( 150^\circ : 120^\circ = 15:12 = 5:4 \). Это соответствует условию.
26. Таким образом, «данные углы» — это 30° и 60°.

Ответ: данные углы равны 30° и 60°.