3. Сумма вертикальных углов равна 146°. Найдите эти углы.

Решение:

Вертикальные углы равны друг другу. При пересечении двух прямых образуются две пары вертикальных углов.

1. Пусть \( \alpha \) и \( \beta \) — пары вертикальных углов. Тогда \( \alpha = \alpha \) и \( \beta = \beta \).
2. Сумма вертикальных углов равна 146°, то есть \( \alpha + \alpha + \beta + \beta = 146^\circ \) или \( 2\alpha + 2\beta = 146^\circ \).
3. Разделим на 2: \( \alpha + \beta = 73^\circ \).
4. Углы \( \alpha \) и \( \beta \) являются смежными, так как они образуют развернутый угол. Сумма смежных углов равна 180°.
5. Однако, в условии задачи сказано, что «сумма вертикальных углов равна 146°». Это означает, что сумма всех четырех углов (двух пар вертикальных) равна 146°.
6. Пусть величина одного угла равна \( x \). Тогда его вертикальный угол также равен \( x \).
7. Величина смежного с ним угла равна \( 180^\circ - x \). Его вертикальный угол также равен \( 180^\circ - x \).
8. Сумма всех четырех углов: \( x + x + (180^\circ - x) + (180^\circ - x) = 2x + 360^\circ - 2x = 360^\circ \).
9. Это противоречит условию задачи, что сумма четырех углов равна 146°.
10. Предположим, что имеется в виду сумма только ОДНОЙ пары вертикальных углов.
11. Пусть один вертикальный угол равен \( x \). Тогда его вертикальный угол тоже \( x \).
12. Сумма этих двух углов равна \( x + x = 2x \).
13. По условию, \( 2x = 146^\circ \).
14. Найдем \( x \): \( x = 146^\circ / 2 = 73^\circ \).
15. Следовательно, одна пара вертикальных углов равна 73° каждый.
16. Смежные с ними углы будут равны \( 180^\circ - 73^\circ = 107^\circ \).
17. Таким образом, все четыре угла: 73°, 73°, 107°, 107°.

Ответ: два угла по 73° и два угла по 107°.