5. Докажите, что в равностороннем треугольнике любые две высоты равны.

Пусть сторона равностороннего треугольника равна \(a\). В равностороннем треугольнике каждая высота является также медианой, поэтому делит противоположную сторону пополам. Рассмотрим любой из образовавшихся прямоугольных треугольников: его гипотенуза равна \(a\), а один катет — \(\frac{a}{2}\).

По теореме Пифагора высота равна \(h=\sqrt{a^2-\left(\frac{a}{2}\right)^2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\). Это выражение одинаково для высоты, опущенной из любой вершины. Следовательно, любые две высоты равны.