5. Докажите, что при любых значениях переменных верно равенство (ax)(a + x) − b(b + 2x) − (a − b − x)(a + b + x) = 0.

5. Доказательство тождества:

Преобразуем левую часть выражения:

\( (ax)(a+x) - b(b+2x) - (a-b-x)(a+b+x) \)

1. Раскроем первую скобку:

   \( a^2x + ax^2 \)

2. Раскроем вторую скобку:

   \( b^2 + 2bx \)

3. Раскроем третью скобку. Сначала рассмотрим \( (a-b-x)(a+b+x) \). Можно сгруппировать: \( (a - (b+x))(a + (b+x)) \). Это разность квадратов:

   \( a^2 - (b+x)^2 = a^2 - (b^2 + 2bx + x^2) = a^2 - b^2 - 2bx - x^2 \)

4. Подставим полученные выражения обратно в исходное:

   \( (a^2x + ax^2) - (b^2 + 2bx) - (a^2 - b^2 - 2bx - x^2) \)

5. Раскроем все скобки, меняя знаки там, где стоит минус перед скобкой:

   \( a^2x + ax^2 - b^2 - 2bx - a^2 + b^2 + 2bx + x^2 \)

6. Приведём подобные члены:

   \( a^2x + ax^2 - 2bx - a^2 + 2bx + x^2 \)

   \( -b^2 \) и \( +b^2 \) сокращаются.

   \( -2bx \) и \( +2bx \) сокращаются.

   Остаётся: \( a^2x + ax^2 + x^2 - a^2 \)

7. Сгруппируем и вынесем множители:

   \( a^2(x - 1) + x^2(a + 1) \)

Ошибка в условии задачи. Левая часть не равна нулю.