4. В случайном эксперименте симметричную монету бросают четыре раза. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно 2 раза.

Решение:

При каждом броске монеты возможны два исхода: орёл (О) или решка (Р). Так как монета симметричная, вероятность выпадения орла \( P(O) = 0.5 \), и вероятность выпадения решки \( P(P) = 0.5 \).

Всего возможно \( 2^4 = 16 \) исходов при четырёх бросках.

Нам нужно найти вероятность того, что орёл выпадет ровно 2 раза. Это можно сделать с помощью формулы Бернулли или перечислив все возможные комбинации.

Способ 1: Формула Бернулли

Вероятность того, что в \( n \) независимых испытаниях произойдёт ровно \( k \) успехов, равна \( P_k = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k} \), где \( p \) — вероятность успеха, \( q \) — вероятность неудачи, \( n \) — число испытаний, \( k \) — число успехов, \( C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \) — число сочетаний.

В нашем случае: \( n = 4 \) (число бросков), \( k = 2 \) (число выпадений орла), \( p = 0.5 \) (вероятность выпадения орла), \( q = 0.5 \) (вероятность выпадения решки).

Число сочетаний \( C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6 \).

Вероятность: \( P_2 = C_4^2 \cdot (0.5)^2 \cdot (0.5)^{4-2} = 6 \cdot (0.5)^2 \cdot (0.5)^2 = 6 \cdot 0.25 \cdot 0.25 = 6 \cdot 0.0625 = 0.375 \).

Способ 2: Перечисление исходов

Перечислим все исходы, где орёл выпадает ровно 2 раза (О — орёл, Р — решка):

• ОО P P
• О Р О Р
• О Р Р О
• Р ОО P
• Р О Р О
• Р Р ОО

Всего таких исходов 6.

Каждый исход имеет вероятность \( 0.5 \times 0.5 \times 0.5 \times 0.5 = (0.5)^4 = 0.0625 \).

Общая вероятность: \( 6 \times 0.0625 = 0.375 \).

Ответ: 0,375.