4. В равнобедренной трапеции основания равны 2 см и 6 см, а один из острых углов между боковой стороной и основанием равен 45°. Найдите периметр этой трапеции.

Решение:

Пусть дана равнобедренная трапеция ABCD, где BC || AD. Основания BC = 2 см, AD = 6 см. Угол при основании, например \( \angle DAB = 45^\circ \).

Проведем высоту BH из вершины B к основанию AD. В прямоугольном треугольнике ABH:

\( \angle BAH = 45^\circ \), \( \angle BHA = 90^\circ \), значит \( \angle ABH = 45^\circ \).

Треугольник ABH — равнобедренный, поэтому AH = BH.

Отрезок HD = \( \frac{AD - BC}{2} \) = \( \frac{6 - 2}{2} = 2 \) см.

Так как трапеция равнобедренная, то AH = HD = 2 см.

Высота BH = AH = 2 см.

Боковая сторона AB = \( \sqrt{AH^2 + BH^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \) см.

Так как трапеция равнобедренная, боковая сторона CD = AB = \( 2\sqrt{2} \) см.

Периметр трапеции P = AD + BC + AB + CD.

P = 6 + 2 + \( 2\sqrt{2} \) + \( 2\sqrt{2} \) = 8 + \( 4\sqrt{2} \) см.

Ответ: \( 8 + 4\sqrt{2} \) см.