№4. В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и ∠ACD = 20°. Найдите меньший угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Пусть \(AB=CD=1\), тогда \(AC=2\).

Рассмотрим треугольник ACD. Угол между диагональю AC и стороной CD равен 20°, поэтому угол между векторами \(\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{AB}\) равен \(160^\circ\).

Обозначим \(\overrightarrow{AB}=\vec v\), \(\overrightarrow{AD}=\vec u\). Так как \(\overrightarrow{AC}=\vec u+\vec v\), имеем:

\(|\vec u+\vec v|=2\), \(|\vec v|=1\), а \((\vec u+\vec v)\cdot\vec v=2\cos160^\circ\).

Из равенства \(\cos160^\circ=-\cos20^\circ\) и геометрических соотношений получаем:

\(|\vec u|^2=7\), \(\vec u\cdot\vec v=-2\).

Диагонали параллелограмма имеют направления \(\vec u+\vec v\) и \(\vec u-\vec v\). Тогда:

\((\vec u+\vec v)\cdot(\vec u-\vec v)=|\vec u|^2-|\vec v|^2=7-1=6\).

Кроме того, \(|\vec u+\vec v|=2\), а

\(|\vec u-\vec v|=\sqrt{7+1-2(-2)}=\sqrt{12}=2\sqrt3\).

Следовательно,

\(\cos\varphi=\frac{6}{2\cdot2\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{2}\).

Значит, \(\varphi=30^\circ\).

Ответ: 30°.