4. Стороны АС и ВС треугольника АВС равны. Луч СМ является биссектрисой внешнего угла BCD, угол MCD равен 54°. Найдите угол ВАС. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Дано, что \( AC = BC \) в треугольнике ABC. Это значит, что треугольник ABC — равнобедренный.

Луч CM — биссектриса внешнего угла BCD.

Угол \( MCD = 54^{\circ} \).

Так как CM — биссектриса, то угол \( BCM = \angle MCD = 54^{\circ} \).

Внешний угол BCD равен сумме углов:

\( \angle BCD = \angle BCM + \angle MCD = 54^{\circ} + 54^{\circ} = 108^{\circ} \)

Угол ACB является смежным с внешним углом BCD. Сумма смежных углов равна 180°.

\( \angle ACB + \angle BCD = 180^{\circ} \)

\( \angle ACB + 108^{\circ} = 180^{\circ} \)

\( \angle ACB = 180^{\circ} - 108^{\circ} = 72^{\circ} \)

В равнобедренном треугольнике ABC углы при основании AC и BC равны. Угол при вершине C равен 72°.

Сумма углов в треугольнике равна 180°.

\( \angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^{\circ} \)

Так как \( AC = BC \), то \( \angle BAC = \angle ABC \).

\( 2 \cdot \angle BAC + 72^{\circ} = 180^{\circ} \)

\( 2 \cdot \angle BAC = 180^{\circ} - 72^{\circ} = 108^{\circ} \)

\( \angle BAC = \frac{108^{\circ}}{2} = 54^{\circ} \)

Ответ: 54 градуса.