4. С высоты 2 м вертикально вниз бросают мяч. Абсолютно упруго отразившись от горизонтальной поверхности, мяч поднимается на высоту 4 м. С какой скоростью бросили мяч?

Краткое пояснение:

Решение:

1. Скорость мяча после отскока (v₁):

При подъеме на высоту 4 м, вся начальная кинетическая энергия переходит в потенциальную. Используем закон сохранения механической энергии (или кинематические уравнения):

• \[ \frac{1}{2}mv_{1}^{2} = mgh_{подъема} \]
• \[ v_{1}^{2} = 2gh_{подъема} \]
• \[ v_{1} = \sqrt{2gh_{подъема}} \]
• \[ v_{1} = \sqrt{2 \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 \cdot 4 \text{ м}} \]
• \[ v_{1} = \sqrt{78.4} \text{ м/с} \approx 8.85 \text{ м/с} \]

2. Скорость мяча перед ударом (v₀):

При падении с высоты 2 м, вся начальная потенциальная энергия переходит в кинетическую. Так как удар абсолютно упругий, скорость перед ударом равна скорости после отскока (по модулю), но направлена вниз.

Используем закон сохранения механической энергии:

• \[ mgh_{падения} = \frac{1}{2}mv_{0}^{2} \]
• \[ v_{0}^{2} = 2gh_{падения} \]
• \[ v_{0} = \sqrt{2gh_{падения}} \]
• \[ v_{0} = \sqrt{2 \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 \cdot 2 \text{ м}} \]
• \[ v_{0} = \sqrt{39.2} \text{ м/с} \approx 6.26 \text{ м/с} \]

3. Скорость, с которой бросили мяч:

Так как сказано, что мяч бросили вертикально вниз с высоты 2 м, и нам нужно найти эту начальную скорость, а мы уже знаем скорость перед ударом, то эта скорость и есть искомая (при условии, что мяч был брошен, а не просто падал).

Однако, если предположить, что мяч не бросали, а он просто падал, то из условия абсолютно упругого удара, скорость перед ударом должна быть равна скорости после отскока. Но здесь высота падения (2 м) и высота подъема (4 м) разные, что противоречит абсолютно упругому удару, если мяч просто падал.

Перечитаем условие: «С какой скоростью бросили мяч?». Это означает, что начальная скорость падения не равна нулю. При абсолютно упругом ударе, энергия сохраняется. Скорость после отскока равна скорости до удара. Но высота подъема (4 м) больше высоты падения (2 м). Это возможно, если мяч был брошен вниз с некоторой начальной скоростью, а после отскока скорость подъема стала равна этой скорости, но направлена вверх.

Учитывая, что при абсолютно упругом ударе скорость до удара равна скорости после отскока (по модулю), скорость после отскока, с которой мяч поднимается на 4 м, равна скорости перед ударом. Пусть эта скорость равна v'.

• \[ v' = \sqrt{2gh_{подъема}} = \sqrt{2 \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 \cdot 4 \text{ м}} \approx 8.85 \text{ м/с} \]

Эта скорость v' является скоростью мяча сразу после отскока. При абсолютно упругом ударе, скорость перед ударом также равна v' (по модулю). Скорость перед ударом, при падении с высоты h₀ = 2 м, с начальной скоростью v₀ (которую нужно найти), равна:

• \[ v'^{2} = v_{0}^{2} + 2gh_{падения} \]

Подставляем известные значения:

• \[ (8.85 \text{ м/с})^2 \approx v_{0}^{2} + 2 \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 \cdot 2 \text{ м} \]
• \[ 78.4 \text{ м}^2/ ext{с}^2 \approx v_{0}^{2} + 39.2 \text{ м}^2/ ext{с}^2 \]
• \[ v_{0}^{2} \approx 78.4 - 39.2 \text{ м}^2/ ext{с}^2 \]
• \[ v_{0}^{2} \approx 39.2 \text{ м}^2/ ext{с}^2 \]
• \[ v_{0} \approx \sqrt{39.2} \text{ м/с} \approx 6.26 \text{ м/с} \]

Ответ: 6.26 м/с