4. Решите уравнение sin 3x - cos 3x = √2 sin x.

Решение:

Необходимо решить тригонометрическое уравнение.

1. Разделим обе части уравнения на \( \sqrt{2} \). \( \frac{1}{\sqrt{2}} \sin 3x - \frac{1}{\sqrt{2}} \cos 3x = \sin x \).
2. Представим \( \frac{1}{\sqrt{2}} \) как \( \cos \frac{\pi}{4} \) и \( \sin \frac{\pi}{4} \).
3. Уравнение примет вид: \( \cos \frac{\pi}{4} \sin 3x - \sin \frac{\pi}{4} \cos 3x = \sin x \).
4. Используем формулу синуса разности: \( \sin (\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta \).
5. В нашем случае: \( \sin (3x - \frac{\pi}{4}) = \sin x \).
6. Отсюда следует два случая:
7. Случай 1: \( 3x - \frac{\pi}{4} = x + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).
8. \( 3x - x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \)
9. \( 2x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \)
10. \( x = \frac{\pi}{8} + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).
11. Случай 2: \( 3x - \frac{\pi}{4} = \pi - x + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).
12. \( 3x + x = \pi + \frac{\pi}{4} + 2\pi k \)
13. \( 4x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k \)
14. \( x = \frac{5\pi}{16} + \frac{\pi k}{2} \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x = \frac{\pi}{8} + \pi n \) и \( x = \frac{5\pi}{16} + \frac{\pi k}{2} \), \( n, k \in \mathbb{Z} \).