2. Решите неравенство: 2) ctg(6x + π/6) ≥ -√3.

Решение:

Необходимо решить тригонометрическое неравенство.

1. Вспомним, что функция \( \text{ctg } x \) периодична с периодом \( \pi \).
2. Рассмотрим значение \( \text{ctg } x = -\sqrt{3} \). Это достигается при \( x = \frac{5\pi}{6} \).
3. На интервале \( (0, \pi) \), \( \text{ctg } x \) убывает. Неравенство \( \text{ctg } x \geq -\sqrt{3} \) выполняется для \( x \in [0, \frac{5\pi}{6}) \).
4. Общее решение для \( \text{ctg } x \geq -\sqrt{3} \) имеет вид \( x \in [0 + \pi n, \frac{5\pi}{6} + \pi n) \), где \( n \in \mathbb{Z} \).
5. В нашем случае аргумент котангенса равен \( 6x + \frac{\pi}{6} \).
6. Значит, \( \pi n \leq 6x + \frac{\pi}{6} < \frac{5\pi}{6} + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).
7. Вычтем \( \frac{\pi}{6} \) из всех частей: \( \pi n - \frac{\pi}{6} \leq 6x < \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{6} + \pi n \)
8. \( \frac{5\pi}{6} + \pi n \leq 6x < \frac{4\pi}{6} + \pi n \)
9. \( \frac{5\pi}{6} + \pi n \leq 6x < \frac{2\pi}{3} + \pi n \)
10. Разделим все части на 6: \( \frac{5\pi}{36} + \frac{\pi n}{6} \leq x < \frac{2\pi}{18} + \frac{\pi n}{6} \)
11. \( \frac{5\pi}{36} + \frac{\pi n}{6} \leq x < \frac{\pi}{9} + \frac{\pi n}{6} \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x \in [\frac{5\pi}{36} + \frac{\pi n}{6}, \frac{\pi}{9} + \frac{\pi n}{6}) \), \( n \in \mathbb{Z} \).