4. Решить уравнение: 1) 2sin x 2 = 1 - cos x; 2) cos ( 3π 2 + x) cos 3x - cos(π - x) sin 3x = -1.

4. Решение уравнений:

1. \[ 2\sin \frac{x}{2} = 1 - \cos x \]
   • Используем формулу косинуса двойного угла: \[ \cos x = 1 - 2\sin^2 \frac{x}{2} \]
   • Подставляем в уравнение: \[ 2\sin \frac{x}{2} = 1 - (1 - 2\sin^2 \frac{x}{2}) \] \[ 2\sin \frac{x}{2} = 1 - 1 + 2\sin^2 \frac{x}{2} \] \[ 2\sin \frac{x}{2} = 2\sin^2 \frac{x}{2} \]
   • Переносим все в одну сторону: \[ 2\sin^2 \frac{x}{2} - 2\sin \frac{x}{2} = 0 \]
   • Выносим общий множитель: \[ 2\sin \frac{x}{2} (\sin \frac{x}{2} - 1) = 0 \]
   • Это уравнение распадается на два:
     • \[ 2\sin \frac{x}{2} = 0 \] \[ \sin \frac{x}{2} = 0 \] \[ \frac{x}{2} = \pi k, k \in \mathbb{Z} \] \[ x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z} \]
     • \[ \sin \frac{x}{2} - 1 = 0 \] \[ \sin \frac{x}{2} = 1 \] \[ \frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \] \[ x = \pi + 4\pi n, n \in \mathbb{Z} \]
2. \[ \cos(\frac{3\pi}{2} + x) \cos 3x - \cos(\pi - x) \sin 3x = -1 \]
   • Упрощаем выражения:
     • \[ \cos(\frac{3\pi}{2} + x) = \sin x \] (косинус переходит в синус, знак положительный в 4-й четверти)
     • \[ \cos(\pi - x) = -\cos x \] (косинус отрицательный во 2-й четверти)
   • Подставляем в уравнение: \[ \sin x \cos 3x - (- \cos x) \sin 3x = -1 \] \[ \sin x \cos 3x + \cos x \sin 3x = -1 \]
   • Используем формулу синуса суммы: \[ \sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B \] \[ \sin(x + 3x) = -1 \] \[ \sin(4x) = -1 \]
   • Находим значения: \[ 4x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} \] \[ x = \frac{3\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z} \]

Ответ: 1) \[ x = 2\pi k \] и \[ x = \pi + 4\pi n, k, n \in \mathbb{Z} \]; 2) \[ x = \frac{3\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z} \]