3. Упростить выражение: 1) cos (a-B) - cos(α + β); 2) cos ( 3π 2 - α) + cos(π + α) 2sin (α - π 2 ) cos(-α) + 1

3. Упрощение выражений:

1. \[ \cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta) \]
   • Используем формулу разности косинусов: \[ \cos A - \cos B = -2 \sin \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2} \]
   • В данном случае, \[ A = \alpha - \beta \] и \[ B = \alpha + \beta \]
   • \[ \frac{A+B}{2} = \frac{(\alpha - \beta) + (\alpha + \beta)}{2} = \frac{2\alpha}{2} = \alpha \]
   • \[ \frac{A-B}{2} = \frac{(\alpha - \beta) - (\alpha + \beta)}{2} = \frac{-2\beta}{2} = -\beta \]
   • Следовательно, \[ \cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta) = -2 \sin \alpha \sin (-\beta) \]
   • Так как \[ \sin(-\beta) = -\sin \beta \], то: \[ -2 \sin \alpha \sin (-\beta) = -2 \sin \alpha (-\sin \beta) = 2 \sin \alpha \sin \beta \]
2. \[ \frac{\cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha) + \cos(\pi + \alpha)}{2\sin (\alpha - \frac{\pi}{2}) \cos(-\alpha) + 1} \]
   • Упрощаем числитель:
     • \[ \cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\sin \alpha \] (косинус в третьей четверти отрицателен)
     • \[ \cos(\pi + \alpha) = -\cos \alpha \] (косинус в третьей четверти отрицателен)
     • Числитель: \[ -\sin \alpha - \cos \alpha \]
   • Упрощаем знаменатель:
     • \[ \sin(\alpha - \frac{\pi}{2}) = -\cos \alpha \] (синус в четвертой четверти отрицателен)
     • \[ \cos(-\alpha) = \cos \alpha \] (косинус — четная функция)
     • Знаменатель: \[ 2(-\cos \alpha)(\cos \alpha) + 1 = -2\cos^2 \alpha + 1 \]
     • Используя формулу косинуса двойного угла \[ \cos(2\alpha) = 1 - 2\cos^2\alpha \], получаем: \[ -2\cos^2 \alpha + 1 = \cos(2\alpha) \]
   • Объединяем числитель и знаменатель: \[ \frac{- \sin \alpha - \cos \alpha}{\cos(2\alpha)} \]

Ответ: 1) \[ 2 \sin \alpha \sin \beta \]; 2) \[ \frac{- \sin \alpha - \cos \alpha}{\cos(2\alpha)} \]