4. При каких значениях переменной имеет смысл выражение $$\frac{x+2}{x^2+3x-4}$$?

Выражение имеет смысл, когда знаменатель дроби не равен нулю. Нам нужно найти значения $$x$$, при которых $$x^2+3x-4
eq 0$$.

Для этого сначала найдем корни квадратного уравнения $$x^2+3x-4 = 0$$. Можно использовать теорему Виета или дискриминант.

Используем теорему Виета:

Сумма корней: $$x_1 + x_2 = -3$$.

Произведение корней: $$x_1 imes x_2 = -4$$.

Подбираем числа, которые удовлетворяют этим условиям. Это числа $$4$$ и $$-1$$.

Проверяем: $$4 + (-1) = 3$$ (не подходит, сумма должна быть -3). Значит, корни $$1$$ и $$-4$$.

Проверяем: $$1 + (-4) = -3$$.

Проверяем: $$1 imes (-4) = -4$$.

Значит, корни уравнения $$x^2+3x-4 = 0$$ равны $$x_1 = 1$$ и $$x_2 = -4$$.

Используем дискриминант:

$$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4(1)(-4) = 9 + 16 = 25$$.

$$\sqrt{D} = 5$$.

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + 5}{2 \times 1} = \frac{2}{2} = 1$$.

$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - 5}{2 \times 1} = \frac{-8}{2} = -4$$.

Знаменатель равен нулю, когда $$x = 1$$ или $$x = -4$$. Следовательно, выражение имеет смысл при всех значениях $$x$$, кроме $$1$$ и $$-4$$.

Ответ: $$x \in \mathbb{R} \setminus \{1, -4\}$$ (или $$x
eq 1$$ и $$x
eq -4$$)