4. Острые углы прямоугольного треугольника равны 62° и 28°. Найдите угол между высотой и медианой, проведёнными из вершины прямого угла.

Дано:

• △ABC — прямоугольный (∠C = 90°).
• ∠A = 62°, ∠B = 28°.
• CH — высота (H на AB).
• CM — медиана (M на AB).

Найти:

• ∠HCM.

Решение:

1. Найдем ∠ACH. В прямоугольном △ACH: ∠ACH = 90° - ∠A = 90° - 62° = 28°.
2. Найдем ∠BCM. В прямоугольном △BCM: ∠BCM = 90° - ∠B = 90° - 28° = 62°.
3. Угол между высотой и медианой ∠HCM можно найти как разность между ∠BCM и ∠BCH (или ∠ACM и ∠ACH).
4. ∠HCM = |∠ACM - ∠ACH|
5. ∠ACM = ∠ACB - ∠BCM = 90° - 62° = 28°.
6. ∠HCM = |28° - 28°| = 0°.
7. Другой вариант:
8. ∠HCM = |∠ACH - ∠BCM| = |28° - 62°| = |-34°| = 34°.
9. Третий вариант (более стандартный):
10. Угол между высотой и медианой равен разности острых углов треугольника, деленной пополам.
11. ∠HCM = |(∠A - ∠B)| / 2
12. ∠HCM = |(62° - 28°)| / 2 = 34° / 2 = 17°.
13. Проверим ∠ACH и ∠BCM
14. В △ABC: ∠A = 62°, ∠B = 28°.
15. Высота CH. В △ACH: ∠ACH = 90° - 62° = 28°.
16. Медиана CM. Так как CM = AM = BM, то △AMC — равнобедренный. ∠ACM = ∠A = 62°.
17. ∠HCM = ∠ACM - ∠ACH = 62° - 28° = 34°.
18. Исправление: В △AMC, ∠AMC = 180 - 2*62 = 180 - 124 = 56°. ∠CMB = 180 - 56 = 124°.
19. В △CHB: ∠HBC = 28°, ∠CHB = 90°, ∠BCH = 180 - 90 - 28 = 62°.
20. ∠HCM = |∠BCH - ∠BCM| = |62° - 62°| = 0°.
21. ∠HCM = |∠ACH - ∠ACM| = |28° - 62°| = |-34°| = 34°.
22. В △AMC, CM=AM, ∠CAM = 62°. Значит ∠ACM = ∠CAM = 62°.
23. В △BMC, CM=BM, ∠CBM = 28°. Значит ∠BCM = ∠CBM = 28°.
24. ∠ACM + ∠BCM = 62° + 28° = 90°.
25. Угол между высотой и медианой равен разности острого угла треугольника и угла между медианой и катетом.
26. ∠HCM = |∠ACH - ∠ACM| = |28° - 62°| = 34°.
27. Или ∠HCM = |∠BCM - ∠BCH| = |28° - 62°| = 34°.
28. Формула: Угол между высотой и медианой, проведенными из вершины прямого угла, равен полуразности острых углов треугольника.
29. ∠HCM = |(62° - 28°)| / 2 = 34° / 2 = 17°.

Ответ: 17°