4. Не выполняя построения, определите, пересекаются ли парабола \(y=\frac14x^2\) и прямая \(y=5x-10\). Если точки пересечения существуют, найдите их координаты.

Приравняем выражения для \(y\): \(\frac14x^2=5x-10\). Умножая на 4, получаем \(x^2-20x+40=0\). Дискриминант \(D=400-160=240=(4\sqrt{15})^2>0\), значит, пересечения существуют.

\(x=\frac{20\pm4\sqrt{15}}2=10\pm2\sqrt{15}\). Подставляем в уравнение прямой: \(y=5x-10=40\pm10\sqrt{15}\).

Ответ: точки пересечения \((10-2\sqrt{15};40-10\sqrt{15})\) и \((10+2\sqrt{15};40+10\sqrt{15})\).