1. Постройте график функции $y=x^2-6x+5$. Найдите с помощью графика: а) значение $y$ при $x=0,5$; б) значения $x$, при которых $y=-1$; в) нули функции; промежутки, в которых $y>0$ и в которых $y<0$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 1. Постройте график функции $y=x^2-6x+5$. Найдите с помощью графика: а) значение $y$ при $x=0,5$; б) значения $x$,…$ Фото задания

1. Постройте график функции $y=x^2-6x+5$. Найдите с помощью графика: а) значение $y$ при $x=0,5$; б) значения $x$, при которых $y=-1$; в) нули функции; промежутки, в которых $y>0$ и в которых $y<0$.

Accepted Answer

Преобразуем формулу функции:

\[y=x^2-6x+5=(x-3)^2-4.\]

График — парабола, ветви направлены вверх. Вершина параболы: $V(3;-4)$, ось симметрии: $x=3$.

Для построения можно отметить точки: $(0;5)$, $(1;0)$, $(2;-3)$, $(3;-4)$, $(4;-3)$, $(5;0)$, $(6;5)$.

а) При $x=0.5$:
\[y(0.5)=0.5^2-6\cdot0.5+5=0.25-3+5=2.25.\]
б) При $y=-1$:
\[x^2-6x+5=-1,\]
\[x^2-6x+6=0.\]
\[D=(-6)^2-4\cdot1\cdot6=12,\]
\[x=\frac{6\pm\sqrt{12}}{2}=3\pm\sqrt3.\]
в) Нули функции найдём из уравнения $y=0$:
\[x^2-6x+5=0,\]
\[(x-1)(x-5)=0.\]
Следовательно, $x_1=1$, $x_2=5$.

Так как парабола направлена вверх, функция положительна вне корней и отрицательна между корнями:

$y>0$ при $x\in(-\infty;1)\cup(5;+\infty)$;
$y<0$ при $x\in(1;5)$.

Ответ: а) $y=2.25$; б) $x=3\pm\sqrt3$; в) нули функции: $1$ и $5$; $y>0$ при $x\in(-\infty;1)\cup(5;+\infty)$, $y<0$ при $x\in(1;5)$.