4. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y = -x + 5, y = x + 3, y = 0, x = 0.

Решение:

Для нахождения площади фигуры, ограниченной заданными линиями, сначала определим точки их пересечения.

1. Найдем точку пересечения \( y = -x + 5 \) и \( y = x + 3 \):

\[ -x + 5 = x + 3 \]
\[ 2 = 2x \]
\[ x = 1 \]

При \( x = 1 \), \( y = -1 + 5 = 4 \) (или \( y = 1 + 3 = 4 \)). Точка пересечения \( (1, 4) \).

2. Найдем точки пересечения с осью \( Ox \) (где \( y = 0 \)):

Для \( y = -x + 5 \): \( 0 = -x + 5 \) \(\Rightarrow\) \( x = 5 \). Точка \( (5, 0) \).

Для \( y = x + 3 \): \( 0 = x + 3 \) \(\Rightarrow\) \( x = -3 \). Точка \( (-3, 0) \).

3. Учитывая, что фигура ограничена также \( y = 0 \) (ось \( Ox \)) и \( x = 0 \) (ось \( Oy \)), мы ищем площадь треугольника, вершинами которого являются:

• Точка пересечения \( y = -x + 5 \) и \( x = 0 \): \( y = -0 + 5 = 5 \). Точка \( (0, 5) \).
• Точка пересечения \( y = x + 3 \) и \( x = 0 \): \( y = 0 + 3 = 3 \). Точка \( (0, 3) \).
• Точка пересечения \( y = -x + 5 \) и \( y = x + 3 \): \( (1, 4) \).

Однако, глядя на предоставленный график, мы видим, что искомая фигура представляет собой трапецию, ограниченную линиями \( y = -x + 5 \), \( y = x + 3 \), осью \( Ox \) и осью \( Oy \).

На графике видно, что ось \( Ox \) является нижней границей, а \( Oy \) — левой границей.

Линия \( y = -x + 5 \) пересекает ось \( Ox \) при \( x = 5 \) и ось \( Oy \) при \( y = 5 \).
Линия \( y = x + 3 \) пересекает ось \( Oy \) при \( y = 3 \).

Пересечение \( y = -x + 5 \) и \( y = x + 3 \) происходит при \( x = 1 \), \( y = 4 \).

Фигура, ограниченная \( y = -x + 5 \), \( y = x + 3 \) и \( y = 0 \), с учётом \( x=0 \) как левой границы, состоит из двух частей:

1. Треугольник, ограниченный \( y = x + 3 \), \( y = 0 \) и \( x = 0 \). Основание по оси \( Oy \) равно 3. Найдём основание по оси \( Ox \). Это точка пересечения \( y = x + 3 \) с \( y = 0 \), то есть \( x = -3 \). Так как \( x=0 \) — левая граница, мы должны рассматривать область от \( x=0 \) до точки пересечения \( x=1 \).
2. Фигура под \( y = -x + 5 \) от \( x = 0 \) до \( x = 5 \).

На изображении видно, что фигура состоит из двух частей, разделенных точкой \( x = 1 \).

Левая часть (от \( x = 0 \) до \( x = 1 \)): ограничена \( y = x + 3 \) сверху, \( y = 0 \) снизу, \( x = 0 \) слева.

Правая часть (от \( x = 1 \) до \( x = 5 \)): ограничена \( y = -x + 5 \) сверху, \( y = 0 \) снизу.

Таким образом, площадь можно вычислить как сумму двух интегралов:

\[ S = \int_0^1 (x + 3) dx + \int_1^5 (-x + 5) dx \]

Вычислим первый интеграл:

\[ \int_0^1 (x + 3) dx = \left[ \frac{x^2}{2} + 3x \right]_0^1 = \left( \frac{1^2}{2} + 3 \cdot 1 \right) - (0) = \frac{1}{2} + 3 = \frac{7}{2} \]

Вычислим второй интеграл:

\[ \int_1^5 (-x + 5) dx = \left[ -\frac{x^2}{2} + 5x \right]_1^5 = \left( -\frac{5^2}{2} + 5 \cdot 5 \right) - \left( -\frac{1^2}{2} + 5 \cdot 1 \right) = \left( -\frac{25}{2} + 25 \right) - \left( -\frac{1}{2} + 5 \right) = \left( -12.5 + 25 \right) - (-0.5 + 5) = 12.5 - 4.5 = 8 \]

Суммируем площади:

\[ S = \frac{7}{2} + 8 = 3.5 + 8 = 11.5 \]

Ответ: 11.5.