2. Вычислите определенные интегралы: \(\int_0^2 (x^2 + 2x) dx\) и \(\int_1^4 (4-x)^2 dx\).

Решение:

1. \(\int_0^2 (x^2 + 2x) dx\)

1. Находим первообразную для функции \( f(x) = x^2 + 2x \):

\[ F(x) = \int (x^2 + 2x) dx = \frac{x^3}{3} + 2\frac{x^2}{2} = \frac{x^3}{3} + x^2 \]

2. Применяем формулу Ньютона-Лейбница: \(\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)\).

\[ \int_0^2 (x^2 + 2x) dx = \left[ \frac{x^3}{3} + x^2 \right]_0^2 = \left( \frac{2^3}{3} + 2^2 \right) - \left( \frac{0^3}{3} + 0^2 \right) = \left( \frac{8}{3} + 4 \right) - (0) = \frac{8}{3} + \frac{12}{3} = \frac{20}{3} \]

2. \(\int_1^4 (4-x)^2 dx\)

1. Находим первообразную для функции \( f(x) = (4-x)^2 \). Сделаем замену \( u = 4-x \), тогда \( du = -dx \), или \( dx = -du \).
2. Интеграл принимает вид:

\[ \int (4-x)^2 dx = \int u^2 (-du) = - \int u^2 du = -\frac{u^3}{3} + C \]

3. Подставляем обратно \( u = 4-x \):

\[ F(x) = -\frac{(4-x)^3}{3} \]

4. Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

\[ \int_1^4 (4-x)^2 dx = \left[ -\frac{(4-x)^3}{3} \right]_1^4 = \left( -\frac{(4-4)^3}{3} \right) - \left( -\frac{(4-1)^3}{3} \right) = \left( -\frac{0^3}{3} \right) - \left( -\frac{3^3}{3} \right) = 0 - \left( -\frac{27}{3} \right) = 9 \]

Ответ: \( \frac{20}{3} \) и \( 9 \).