1. Вычислите неопределенные интегралы: \(\int (4x^3 - 6x^2 - 4x + 3) dx\) и \(\int \frac{x^4 - x^3 + 6}{x^3} dx\).

Решение:

1. \(\int (4x^3 - 6x^2 - 4x + 3) dx\)

1. Применяем правило интегрирования степенной функции: \(\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\).
2. Интегрируем каждый член многочлена:

\[ \int 4x^3 dx = 4 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} = 4 \cdot \frac{x^4}{4} = x^4 \]

\[ \int -6x^2 dx = -6 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} = -6 \cdot \frac{x^3}{3} = -2x^3 \]

\[ \int -4x dx = -4 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} = -4 \cdot \frac{x^2}{2} = -2x^2 \]

\[ \int 3 dx = 3x \]

Объединяем результаты и добавляем константу интегрирования \(C\):

\[ \int (4x^3 - 6x^2 - 4x + 3) dx = x^4 - 2x^3 - 2x^2 + 3x + C \]

2. \(\int \frac{x^4 - x^3 + 6}{x^3} dx\)

1. Разделим числитель на знаменатель почленно:

\[ \frac{x^4 - x^3 + 6}{x^3} = \frac{x^4}{x^3} - \frac{x^3}{x^3} + \frac{6}{x^3} = x - 1 + 6x^{-3} \]

2. Интегрируем полученное выражение:

\[ \int (x - 1 + 6x^{-3}) dx = \int x dx - \int 1 dx + \int 6x^{-3} dx \]

\[ \int x dx = \frac{x^{1+1}}{1+1} = \frac{x^2}{2} \]

\[ \int 1 dx = x \]

\[ \int 6x^{-3} dx = 6 \cdot \frac{x^{-3+1}}{-3+1} = 6 \cdot \frac{x^{-2}}{-2} = -3x^{-2} = -\frac{3}{x^2} \]

Объединяем результаты и добавляем константу интегрирования \(C\):

\[ \int \frac{x^4 - x^3 + 6}{x^3} dx = \frac{x^2}{2} - x - \frac{3}{x^2} + C \]

Ответ: \( x^4 - 2x^3 - 2x^2 + 3x + C \) и \( \frac{x^2}{2} - x - \frac{3}{x^2} + C \).