4. Дана трапеция ABCD, в которой ∠A=90°, ∠D=45°, BC=4см, CD=3√2 см. Вычислить площадь боковой и полной поверхностей усечённого конуса, образованного вращением данной трапеции вокруг стороны АВ.

Решение:

1. Трапеция ABCD является прямоугольной (\( \angle A = 90^\circ \)). При вращении вокруг стороны AB получается усечённый конус.
2. Высота усечённого конуса равна стороне AB.
3. Большее основание усечённого конуса равно AD, меньшее основание равно BC.
4. Из условия \( \angle D = 45^\circ \) и \( \angle A = 90^\circ \), опустим перпендикуляр из C на AD, обозначим точку пересечения как E. Тогда \( \angle CED = 90^\circ \).
5. В прямоугольном треугольнике CDE, \( \angle CDE = 45^\circ \), значит, \( \angle DCE = 45^\circ \). Треугольник CDE — равнобедренный.
6. \( CE = ED \). Мы знаем, что \( CD = 3\sqrt{2} \text{ см} \). По теореме Пифагора для \( \triangle CDE \): \( CE^2 + ED^2 = CD^2 \).
7. Так как \( CE = ED \), то \( 2 CE^2 = (3\sqrt{2})^2 \Rightarrow 2 CE^2 = 18 \Rightarrow CE^2 = 9 \Rightarrow CE = 3 \text{ см} \).
8. Следовательно, \( ED = 3 \text{ см} \).
9. Высота усечённого конуса \( h = AB = CE = 3 \text{ см} \).
10. Большее основание \( AD = AE + ED \). Так как ABCD — прямоугольная трапеция, то \( AE = BC = 4 \text{ см} \).
11. \( AD = 4 + 3 = 7 \text{ см} \).
12. Радиус большего основания \( R_1 = AD = 7 \text{ см} \).
13. Радиус меньшего основания \( R_2 = BC = 4 \text{ см} \).
14. Образующая усечённого конуса равна CD, то есть \( l = 3\sqrt{2} \text{ см} \).
15. Площадь боковой поверхности усечённого конуса: \( S_{бок} = \pi (R_1 + R_2) l \).
16. Вычислим площадь боковой поверхности:
\[ S_{бок} = \pi (7 + 4) · 3\sqrt{2} = \pi · 11 · 3\sqrt{2} = 33\pi\sqrt{2} \text{ см}^2 \]

17. Площадь полной поверхности усечённого конуса: \( S_{полн} = S_{бок} + \pi R_1^2 + \pi R_2^2 \).
18. Вычислим площадь оснований:
\[ \pi R_1^2 = \pi · 7^2 = 49\pi \text{ см}^2 \]\[ \pi R_2^2 = \pi · 4^2 = 16\pi \text{ см}^2 \]

19. Вычислим площадь полной поверхности:
\[ S_{полн} = 33\pi\sqrt{2} + 49\pi + 16\pi = 33\pi\sqrt{2} + 65\pi = \pi (65 + 33\sqrt{2}) \text{ см}^2 \]

Ответ: Площадь боковой поверхности \( S_{бок} = 33\pi\sqrt{2} \text{ см}^2 \), площадь полной поверхности \( S_{полн} = \pi (65 + 33\sqrt{2}) \text{ см}^2 \).