3. Длина образующей конуса равна 8 см, а угол при вершине осевого сечения конуса равен 120°. Найдите площадь полной поверхности конуса.

Дано:

Образующая \( l = 8 \text{ см} \)

Угол при вершине осевого сечения \( 2\alpha = 120^\circ \)

Найти:

Площадь полной поверхности конуса \( S_{полн} \).

Решение:

1. Угол при вершине осевого сечения равен \( 2\alpha = 120^\circ \), следовательно, половина этого угла \( \alpha = 60^\circ \).
2. Радиус основания конуса \( R \) можно найти из прямоугольного треугольника, образованного образующей, радиусом и высотой, по формуле: \( R = l \sin \alpha \).
3. Вычислим радиус основания:
\[ R = 8 \sin 60^\circ = 8 · \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3} \text{ см} \]

4. Площадь боковой поверхности конуса равна \( S_{бок} = \pi R l \).
5. Вычислим площадь боковой поверхности:
\[ S_{бок} = \pi · 4\sqrt{3} · 8 = 32\pi\sqrt{3} \text{ см}^2 \]

6. Площадь основания конуса равна \( S_{осн} = \pi R^2 \).
7. Вычислим площадь основания:
\[ S_{осн} = \pi (4\sqrt{3})^2 = \pi · (16 · 3) = 48\pi \text{ см}^2 \]

8. Площадь полной поверхности конуса равна сумме площади боковой поверхности и площади основания: \( S_{полн} = S_{бок} + S_{осн} \).
9. Вычислим площадь полной поверхности:
\[ S_{полн} = 32\pi\sqrt{3} + 48\pi = 16\pi (2\sqrt{3} + 3) \text{ см}^2 \]

Ответ: \( S_{полн} = 16\pi (3 + 2\sqrt{3}) \text{ см}^2 \).