№ 4. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 138°, угол CAD равен 83°. Найдите угол ABD.

Вписанный угол \(\angle ABC=138°\) опирается на дугу ADC, не содержащую B. Поэтому эта дуга равна \(2\cdot138°=276°\).

Угол \(\angle CAD=83°\) опирается на дугу CD, значит, дуга CD равна \(2\cdot83°=166°\). Тогда дуга AD равна \(276°-166°=110°\).

Угол \(\angle ABD\) опирается на дугу AD, поэтому \(\angle ABD=110°/2=55°\).

Ответ: 55°.