4. (1 балл) На рисунке 4 ∠EDC = 55°. Найдите градусную меру угла А треугольника АВС.

Задание 4. Нахождение угла треугольника

Дано: На рисунке 4 \( \angle EDC = 55^\circ \).

Найти: \( \angle A \) треугольника \( \triangle ABC \).

Решение:

1. Угол \( \angle EDC \) и угол \( \angle ADC \) являются смежными. Сумма смежных углов равна \( 180^\circ \).
2. Следовательно, \( \angle ADC = 180^\circ - \angle EDC = 180^\circ - 55^\circ = 125^\circ \).
3. На рисунке 4 обозначены два одинаковых штриха на сторонах \( AB \) и \( BC \), что означает \( AB = BC \). Значит, \( \triangle ABC \) — равнобедренный треугольник.
4. В равнобедренном треугольнике \( \triangle ABC \) углы при основании равны, то есть \( \angle BAC = \angle BCA \).
5. Угол \( \angle ADC \) является внешним углом \( \triangle ABC \) при вершине \( D \). Нет, \( D \) лежит на стороне \( AC \), поэтому \( \angle EDC \) — внешний угол \( \triangle BDC \), а \( \angle ADC \) — смежный с ним.
6. Рассмотрим \( \triangle BDC \). Сумма углов в треугольнике равна \( 180^\circ \).
7. У нас есть \( \angle EDC = 55^\circ \).
8. На рисунке 4 также обозначены два одинаковых штриха на сторонах \( BD \) и \( DC \), что означает \( BD = DC \). Значит, \( \triangle BDC \) — равнобедренный.
9. Следовательно, \( \angle DBC = \angle DCB \).
10. В \( \triangle BDC \): \( \angle DBC + \angle DCB + \angle BDC = 180^\circ \).
11. \( \angle EDC = 55^\circ \). \( \angle BDC = 180^\circ - 55^\circ = 125^\circ \).
12. Тогда \( 2 \cdot \angle DCB + 125^\circ = 180^\circ \).
13. \( 2 \cdot \angle DCB = 180^\circ - 125^\circ = 55^\circ \).
14. \( \angle DCB = 55^\circ / 2 = 27.5^\circ \).
15. Так как \( \triangle ABC \) — равнобедренный с \( AB = BC \), то \( \angle BAC = \angle BCA \).
16. \( \angle BCA \) — это тот же угол, что и \( \angle DCB \), то есть \( \angle BCA = 27.5^\circ \).
17. Тогда \( \angle BAC = 27.5^\circ \).

Ответ: 27.5°.