6. (3 балла) Высота треугольника MNK является медианой треугольника TNQ, МТ = QK (рис. 6). 1) Докажите, что треугольник MNK равнобедренный. 2) Найдите ∠3, если ∠2 + ∠1 - ∠4 = 30°.

Задание 6. Равнобедренный треугольник и нахождение угла

Дано: На рисунке 6 высота \( \triangle MNK \) является медианой \( \triangle TNQ \), \( MT = QK \).

1) Доказать: \( \triangle MNK \) — равнобедренный.

2) Найти: \( \angle 3 \), если \( \angle 2 + \angle 1 - \angle 4 = 30^\circ \).

Решение:

1) Доказательство равнобедренности \( \triangle MNK \):

1. Пусть \( NP \) — высота \( \triangle MNK \). Тогда \( NP \perp MK \), и \( \angle NPM = \angle NPK = 90^\circ \).
2. По условию, \( NP \) также является медианой \( \triangle TNQ \). Это означает, что \( TP = PQ \).
3. У нас дано, что \( MT = QK \).
4. Рассмотрим \( \triangle MPT \) и \( \triangle KQP \).
5. \( TP = PQ \) (по условию, \( NP \) — медиана \( \triangle TNQ \)).
6. \( \angle MPT = \angle KQP \) (вертикальные углы).
7. \( MT = QK \) (по условию).
8. По признаку \( SAS \) (по двум сторонам и углу между ними), \( \triangle MPT = \triangle KQP \).
9. Из равенства этих треугольников следует, что \( MP = KP \).
10. Так как \( MP = KP \) и \( NP \) — высота \( \triangle MNK \) (следовательно, \( NP \perp MK \)), то \( NP \) является также медианой \( \triangle MNK \).
11. В \( \triangle MNK \) высота \( NP \) совпадает с медианой, значит, \( \triangle MNK \) — равнобедренный, и \( MN = NK \).

2) Нахождение \( \angle 3 \):

1. Так как \( \triangle MNK \) равнобедренный с \( MN = NK \), то углы при основании равны: \( \angle 1 = \angle 2 \).
2. Из условия дано \( \angle 2 + \angle 1 - \angle 4 = 30^\circ \).
3. Подставим \( \angle 1 = \angle 2 \) в данное уравнение: \( \angle 2 + \angle 2 - \angle 4 = 30^\circ \) => \( 2\angle 2 - \angle 4 = 30^\circ \).
4. Угол \( \angle 3 \) и угол \( \angle 4 \) являются смежными, так как лежат на прямой \( MK \) и их сумма равна \( 180^\circ \).
5. \( \angle 3 + \angle 4 = 180^\circ \) => \( \angle 4 = 180^\circ - \angle 3 \).
6. Подставим это в уравнение: \( 2\angle 2 - (180^\circ - \angle 3) = 30^\circ \).
7. \( 2\angle 2 - 180^\circ + \angle 3 = 30^\circ \).
8. \( \angle 3 = 210^\circ - 2\angle 2 \).
9. Вернемся к \( \triangle MPT \) и \( \triangle KQP \). Мы доказали, что они равны.
10. Следовательно, \( \angle TMP = \angle KQ P \) и \( \angle MTP = \angle KQP \).
11. \( \angle TMP \) — это \( \angle 1 \). \( \angle KQP \) — это \( \angle 4 \).
12. Значит, \( \angle 1 = \angle 4 \).
13. Поскольку \( \angle 1 = \angle 2 \) и \( \angle 1 = \angle 4 \), то \( \angle 1 = \angle 2 = \angle 4 \).
14. Подставим это в исходное уравнение: \( \angle 2 + \angle 1 - \angle 4 = 30^\circ \) => \( \angle 1 + \angle 1 - \angle 1 = 30^\circ \) => \( \angle 1 = 30^\circ \).
15. Значит, \( \angle 1 = \angle 2 = \angle 4 = 30^\circ \).
16. Так как \( \angle 3 + \angle 4 = 180^\circ \), то \( \angle 3 = 180^\circ - \angle 4 = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ \).

Ответ: 1) \( \triangle MNK \) равнобедренный. 2) \( \angle 3 = 150^\circ \).