1. (1 балл) На рисунке 1 MP = PK и ∠MPO = ∠KPO. Докажите, что ΔMNO = ΔKNO

Решение:

Рассмотрим треугольники ΔMPO и ΔKPO.

1. По условию MP = PK.
2. По условию ∠MPO = ∠KPO.
3. Сторона PO является общей для обоих треугольников.
4. Следовательно, по двум сторонам и углу между ними (признак равенства треугольников), ΔMPO = ΔKPO.

Из равенства треугольников следует, что соответствующие углы и стороны равны.

Значит, ∠MOP = ∠KOP.

Углы ∠MOP и ∠KOP — смежные с углами ∠MNO и ∠KNO соответственно, так как все четыре угла вместе составляют развёрнутый угол ∠MNK (или ∠MKN, если считать, что O лежит на MN и KN). Однако, из рисунка видно, что O является точкой пересечения диагоналей. Углы ∠MOP и ∠KOP являются смежными только если M, O, K лежат на одной прямой, что не всегда так.

Вернёмся к равным треугольникам ΔMPO = ΔKPO. Из их равенства следует, что ∠MON = ∠KON (так как ∠MON является смежным с ∠MOP, а ∠KON — смежным с ∠KOP).

Теперь рассмотрим треугольники ΔMNO и ΔKNO.

1. По условию MP = PK, и так как ΔMPO = ΔKPO, то MN = KN (как соответствующие стороны равных треугольников).
2. Угол ∠MON = ∠KON (доказано выше).
3. Сторона NO является общей для обоих треугольников.
4. Следовательно, по двум сторонам и углу между ними (признак равенства треугольников), ΔMNO = ΔKNO.

Что и требовалось доказать.