379. Все стороны треугольника АВС касаются сферы радиуса 5 см. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если АВ = 13 см, ВС = 14 см, СА = 15 см.

Решение:

По условию, все стороны треугольника касаются сферы. Это означает, что сфера является вписанной в треугольник. Расстояние от центра сферы до плоскости треугольника равно радиусу вписанной окружности.

Найдем площадь треугольника по формуле Герона. Полупериметр \( p \):

\[ p = \frac{13 + 14 + 15}{2} = \frac{42}{2} = 21 \text{ см} \]

Площадь \( S \):

\[ S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{(3 \cdot 7) \cdot (2^3) \cdot 7 \cdot (2 \cdot 3)} = \sqrt{2^4 \cdot 3^2 \cdot 7^2} = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 4 \cdot 3 \cdot 7 = 84 \text{ см}^2 \]

Радиус вписанной окружности \( r \) находится по формуле:

\[ r = \frac{S}{p} \]

\[ r = \frac{84 \text{ см}^2}{21 \text{ см}} = 4 \text{ см} \]

Расстояние от центра сферы до плоскости треугольника равно радиусу вписанной окружности.

Ответ: 4 см.