376. Вершины треугольника АВС лежат на сфере радиуса 13 см. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если АВ = 6 см, ВС = 8 см, АС = 10 см.

Решение:

Так как \( AB^2 + BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \) и \( AC^2 = 10^2 = 100 \), то \( AB^2 + BC^2 = AC^2 \). Это означает, что треугольник ABC является прямоугольным с прямым углом при вершине B.

Вершины треугольника лежат на сфере, значит, описанная около треугольника окружность является окружностью сечения сферы плоскостью треугольника. Центр этой описанной окружности находится в середине гипотенузы AC.

Радиус описанной окружности (r) равен половине гипотенузы:

\[ r = \frac{AC}{2} = \frac{10 \text{ см}}{2} = 5 \text{ см} \]

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом сферы (R), расстоянием от центра сферы до плоскости треугольника (d) и радиусом описанной окружности (r). Гипотенузой является радиус сферы.

\( R^2 = d^2 + r^2 \)

По условию \( R = 13 \) см, и мы нашли \( r = 5 \) см.

\[ 13^2 = d^2 + 5^2 \]

\[ 169 = d^2 + 25 \]

\[ d^2 = 169 - 25 = 144 \]

\[ d = \sqrt{144} = 12 \text{ см} \]

Ответ: 12 см.