378. Стороны треугольника касаются сферы радиуса 5 см. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если его стороны равны 10 см, 10 см и 12 см.

Решение:

Если стороны треугольника касаются сферы, то сфера является вписанной в этот треугольник. Плоскость треугольника проходит через центр вписанной окружности. Расстояние от центра сферы до плоскости треугольника равно радиусу вписанной окружности, так как центр сферы совпадает с центром вписанной окружности.

Треугольник со сторонами 10 см, 10 см, 12 см является равнобедренным.

Найдем площадь треугольника по формуле Герона. Полупериметр \( p \):

\[ p = \frac{10 + 10 + 12}{2} = \frac{32}{2} = 16 \text{ см} \]

Площадь \( S \):

\[ S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{16(16-10)(16-10)(16-12)} = \sqrt{16 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 4} = \sqrt{16 \cdot 36 \cdot 4} = 4 \cdot 6 \cdot 2 = 48 \text{ см}^2 \]

Радиус вписанной окружности \( r \) находится по формуле:

\[ r = \frac{S}{p} \]

\[ r = \frac{48 \text{ см}^2}{16 \text{ см}} = 3 \text{ см} \]

Расстояние от центра сферы до плоскости треугольника равно радиусу вписанной окружности.

Ответ: 3 см.